1、不能。偏导数存在连连续性都不能保证的啊。。。比如函数f(x,y)=1 (xy≠0); 0 (xy=0)，则af/ax=af/ay=0，但是其他方向上导数不存在。
2、不能。比如函数f(x,y)=xy^2/(x^2+y^4) (x^2+y^2≠0); 0 (x=y=0)，那么f(x,y)在点(0,0)沿着任意非零向量(h1,h2)上的导数为lim(c→0)[(ch1)(ch2)^2/((ch1)^2+(ch2)^4)]/c=lim(c→0)h1h2^2/(h1^2+c^2h2^4)=h2^2/h1。但是f(x,y)在(0,0)不连续，沿着x=y^2接近(0,0)时极限为1/2≠f(0,0)。关键是任意方向导数存在不等于可导。
在某点可导，表示任意偏导存在且有界
看你的第一问偏导数存在是什么意思了，如果是任意的偏导数都存在，那么由方向导数定义，必有任意方向方向导数存在。
第二问
任意方向导数存在则必连续，记住可导->连续，反之不亦然。
偏导数存在不能推出任意方向导数存在，因为偏导数就是沿x轴和y轴方向的导数，可以看做是特殊的方向导数
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