绝对值函数求a的取值范围 高二期末 求详细解答过程

f(x)=|x²+ax+2|-x²
当a²-8≤0→|a|≤√8时,x²+ax+2≥0
f(x)=ax+2
f'(x)=a 当a<0，全R域f(x)单调递减
∴-2√2≤a<0 ①
当a<-2√2时
f₁(x)=ax+2 x≤-a-√(a²-8)
f₂(x)=-2x²-ax-2 -a-√(a²-8)f₃(x)=ax+2 x≤-a+√(a²-8)
f'₁(x)=f₃(x)=a<0 f₁(x)、f₃(x)单调递减
f₂'(x)=-4x-a
∵-a-√(a²-8)>0 x∈(-∞,-1)单调递减恒成立
∵ -a+√(a²-8)≥2√2>2
∴x∈(2, -a+√(a²-8)),f₂'(x)≤0
∵f₂'(x)单调递减
∴f₂'(2)=-8-a≤0→a≥-8 ②
∴-8≤a<0
当a>2√2时
f₁(x)=ax+2 x≤-a-√(a²-8)
f₂(x)=-2x²-ax-2 -a-√(a²-8)f₃(x)=ax+2 x≤-a+√(a²-8)
f'₁(x)=f₃(x)=a>0 单调递增 与题意不符。
∴a的取值范围是a∈[-8,0)