多元函数的连续,可微的定义,以及连续,偏导,可微之间的关系

多元函数性质之间的关系问题

多元函数这些性质之间的关系是：可微分是最强 的性质，即可微必然可以推出偏导数存在，必然可以推出连续。反之偏导数存在与连续之间是不能相互推出的（没有直接关系），即连续多元函数偏导数可以不存在；偏导数都存在多元函数也可以不连续。偏导数连续强于函数可微分，是可微分的充分不必要条件，相关例子可以在数学分析书籍中找到。

其中可微分的定义是：

以二元函数为例（n元类似）

扩展：可微分可以直观地理解为用线性函数逼近函数时的情况（一元函数用一次函数即切线替代函数增量，二元函数可以看做是用平面来代替，更多元可以看做是超平面来的代替函数增量，当点P距离定点P0的距离p趋于零时，函数增量与线性函数增量的差是自变量与定点差的高阶无穷小（函数增量差距缩小的速度快与自变量P靠近P0的速度））。

1、如果二元函数f在其域中的某个点处是可分的，则二元函数f存在于该点的偏导数处，而该函数不一定成立。

2、如果二进制函数f在其域中的某个点处是可分的，则二进制函数f在该点处是连续的，反之亦然。

3、二元函数f是否在其域中的某个点处是连续的，与偏导数的存在无关。

4、可区分和充分条件：函数的偏导数存在并且在某一点的某个邻域中是连续的，并且此时二元函数f是可分的。

扩展资料

设D为一个非空的n 元有序数组的集合， f为某一确定的对应规则。若对于每一个有序数组 ( x1,x2,…,xn)∈D，通过对应规则f，都有唯一确定的实数y与之对应，则称对应规则f为定义在D上的n元函数。

记为y=f(x1,x2,…,xn) 其中 ( x1,x2,…,xn)∈D。 变量x1,x2,…,xn称为自变量，y称为因变量。

当n=1时，为一元函数，记为y=f(x),x∈D，当n=2时，为二元函数，记为z=f(x,y),(x,y)∈D。二元及以上的函数统称为多元函数。

参考资料来源：百度百科-多元函数

多元函数连续、偏导数存在、可微之间的关系一般有：
1、若多元函数f在其定义域内某点可微，则多元函数f在该点偏导数存在，反过来则不一定成立。
2、若多元函数函数f在其定义域内的某点可微,则多元函数f在该点连续，反过来则不一定成立。
3、多元函数f在其定义域内某点是否连续与偏导数是否存在无关。
4、可微的充要条件：函数的偏导数在某点的某邻域内存在且连续，则多元函数f在该点可微。
祝好。