（Ⅰ）f′(x)＝a+＝0（1分）
∵函数f（x）的图象在x=2处的切线的斜率为1，∴f′(2)＝a+＝1（2分）
∴a＝（3分）
（Ⅱ）由f′(x)＝a+＝0，可得a＝?
∵x∈（1，e）
∴?∈(?1，?)
∴a∈(?1，?)（5分）
经检验a∈(?1，?)时，f（x）有极值．
∴实数a的取值范围为(?1，?)．（6分）
列表
f（x）的极大值为f(?)＝?1+ln(?)（7分）
又∵f（1）=a，f（e）=ae+1
由a≥ae+1，解得a≤又∵?1＜＜?（8分）
∴当?1＜a≤时，函数f（x）的值域为(ae+1，?1+ln(?)]（9分）
当＜a＜?时，函数f（x）的值域为(a，?1+ln(?)]．（10分）
（Ⅲ）证明：∵当x∈（1，e）时，g'（x）=3x2-1＞0，
∴g（x）在（1，e）上为单调递增函数（11分）
∵g（1）=-2，g（e）=e3-e-2∴g（x）在（1，e）的值域为（-2，e3-e-2）（12分）
∵e3-e-2＞?1+ln(?)，-2＜ae+1，-2＜a
∴(ae+1，?1+ln(?)]?（-2，e3-e-2），(a，?1+ln(?)]?（-2，e3-e-2）
∴?x1∈（1，e），?x0∈（1，e），使得g（x0）=f（x1）成立．（14分）
