a1=1,an+1=an⼀2an+1,求数列1⼀an的前n项和sn. 求解答过程

an+1=an/2an+1 <==> 1/an+1=(2an+1)/an=2+1/an <==>1/an+1-1/an=2

所以{1/an}是以1/a1=1为首项，以2为公差的等差数列

所以1/an=1+2(n-1)=2n-1

所以Sn=1/a1+1/a2+1/a3+……+1/an
=(2-1)+(2×2-1)+(2×3-1)+……+(2n-1)
=2×(1+2+3+……+n)-n
=n(n+1)-n
=n²

取倒数
1/a(n+1)=(2an+1)/an==2+1/an
1/a(n+1)-1/an=2
所以1/an是等差数列，d=2
1/a1=1
所以1/an=1+2(n-1)=2n-1

数列1/an的前n项和Sn=(1+2n-1)*n/2=n^2

解：根据题意
1/a(n+1) =2 + 1/an
所以数列 {1/an}为等差数列,等差为2
Sn= 1/a1+1/a2+..+an
=1+3+5+...+(2n-1)
=n/2 *(1+2n-1)
=n^2