怎么证明有界不一定可积

设f（x）在区间（a，b）上有界，且只有有限个间断点，则f（x）在（a，b）上可积。所以有界不一定可积。

例如狄利克雷函数f（x）=1（x是有理数的时候），而f（x）=0（x是无理数的时候），所以f（x）是有界的。但f（x）在任意区间内有无数个间断点，所以这个函数在任意区间内不可积。

如果一个函数的积分存在，并且有限，就说这个函数是可积的。一般来说，被积函数不一定只有一个变量，积分域也可以是不同维度的空间，甚至是没有直观几何意义的抽象空间。如同上面介绍的，对于只有一个变量x的实值函数f，f在闭区间[a,b]上的积分记作

扩展资料：

定积分与不定积分之间的关系：

若定积分存在，则它是一个具体的数值（曲边梯形的面积），而不定积分是一个函数表达式，只是在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式），其它没有都没有。

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

可以假设这样一个函数
f（x）=1（x是有理数的时候）；=0（x是无理数的时候）
那么f（x）在x为任意实数的时候，只有1和0两种取值，所以f（x）是有界的。
但是在任意区间内（无论是开区间还是闭区间），都有无数个有理数和无理数。所以f（x）在任意区间内斗有无数个间断点，所以这个函数在任意区间内斗不可积。

恩，楼上是对的，上述的狄利克雷函数f(x)=1 x为有理数f(x)=0 x为无理数，就是很好的例子，一楼的那个可积

f(x)=1 x为有理数f(x)=0 x为无理数

(x)=1 x为有理数f(x)=0 x为无理数