1. mod 7 意义下, 3的各正整数次幂依次为3, 2, 6, 4, 5, 1, 即3是Z7-{0}的一个生成元.
于是Z7-{0}是一个6阶循环群, 恰有一个3阶子群和一个2阶子群.
3³ = 6是一个2阶元, 生成{1,6}这个2阶子群.
3² = 2是一个3阶元, 生成{1,2,4}这个3阶子群.
3的与6互质的方幂是全体生成元, 包括3和5.
综上, 生成元为3或5, 2阶子群为{1,6}, 3阶子群为{1,2,4}.
2. 连接矩阵为A =
0 1 0 1 1
1 0 1 1 1
0 1 0 1 1
1 1 1 0 1
1 1 1 1 0
A² =
3 2 3 2 2
2 4 2 3 3
3 2 3 2 2
2 4 2 4 3
2 3 2 3 4
其i行j列的值即为vi到vj的长度2的路径数目, 故v1到v3长度2的路径数目为3.
其实如果只要求v1到v3的长度2的路径数目, 可以不用把A²都算出来, 只需计算1行3列的值.
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