计算定积分:上限1⼀2 下限0 根号(1-x^2)dx

答案为√3/8+π/12

解题过程如下：

令x=sinΘ

dx=cosΘdΘ

x=1/2，Θ=π/6

x=0,Θ=0

原式=∫(π/6,0)cosΘ*cosΘdΘ

=∫(π/6,0)(1+cos2Θ)/2*1/2d(2Θ)

=1/4*(sin2Θ+2Θ)|(π/6,0)

=√3/8+π/12

定积分是积分的一种，是函数f(x)在区间[a,b]上积分和的极限。

这里应注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值（曲边梯形的面积），而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式），其它一点关系都没有！

扩展资料

定理

一般定理

定理1：设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。

定理2：设f(x)区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。

定理3：设f(x)在区间[a,b]上单调，则f(x)在[a,b]上可积。

牛顿-莱布尼茨公式

定积分与不定积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要的理论的支撑，使得它们有了本质的密切关系。把一个图形无限细分再累加，这似乎是不可能的事情，但是由于这个理论，可以转化为计算积分。

令x=sinΘ

dx=cosΘdΘ

x=1/2，Θ=π/6

x=0,Θ=0

原式=∫(π/6,0)cosΘ*cosΘdΘ

=∫(π/6,0)(1+cos2Θ)/2*1/2d(2Θ)

=1/4*(sin2Θ+2Θ)|(π/6,0)

=√3/8+π/12

扩展资料：

根据牛顿-莱布尼茨公式，许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行。这里要注意不定积分与定积分之间的关系：定积分是一个数，而不定积分是一个表达式，它们仅仅是数学上有一个计算关系。

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分；若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

令x=sinΘ
dx=cosΘdΘ
x=1/2，Θ=π/6
x=0,Θ=0
原式=∫(π/6,0)cosΘ*cosΘdΘ
=∫(π/6,0)(1+cos2Θ)/2*1/2d(2Θ)
=1/4*(sin2Θ+2Θ)|(π/6,0)
=√3/8+π/12

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令x=sina
dx=cosada
x=1/2，a=π/6
x=0,a=0
原式=∫(0,π/6)cosa*cosada
=∫(0,π/6)(1+cos2a)/2*1/2d(2a)

=1/4*(sin2a+2a)(0,π/6)
=√3/8+π/12

课本上有公式