数学分析：sinxcosx⼀(sinx+cosx)的不定积分

解答过程如下：

∫ (sinxcosx)/(sinx + cosx) dx

= (1/2)∫ (2sinxcosx)/(sinx + cosx) dx

= (1/2)∫ [(1 + 2sinxcosx) - 1]/(sinx + cosx) dx

= (1/2)∫ (sin²x + 2sinxcosx + cos²x)/(sinx + cosx) dx - (1/2)∫ dx/(sinx + cosx)

= (1/2)∫ (sinx + cosx)²/(sinx + cosx) dx - (1/2)∫ dx/[√2sin(x + π/4)]

= (1/2)∫ (sinx + cosx) dx - [1/(2√2)]∫ csc(x + π/4) dx

= (1/2)(- cosx + sinx) - [1/(2√2)]ln|csc(x + π/4) - cot(x + π/4)| + C

扩展资料：

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分。

若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

方法一、

方法二、

∫ (sinxcosx)/(sinx + cosx) dx
= (1/2)∫ (2sinxcosx)/(sinx + cosx) dx
= (1/2)∫ [(1 + 2sinxcosx) - 1]/(sinx + cosx) dx
= (1/2)∫ (sin²x + 2sinxcosx + cos²x)/(sinx + cosx) dx - (1/2)∫ dx/(sinx + cosx)
= (1/2)∫ (sinx + cosx)²/(sinx + cosx) dx - (1/2)∫ dx/[√2sin(x + π/4)]
= (1/2)∫ (sinx + cosx) dx - [1/(2√2)]∫ csc(x + π/4) dx
= (1/2)(- cosx + sinx) - [1/(2√2)]ln|csc(x + π/4) - cot(x + π/4)| + C

∫要写为sinx /（1 +要写为sinx + cosx）dx的
=∫要写为sinx（要写为sinx + cosx-1）/ [（要写为sinx + cosx +1）（要写为sinx + cosx-1）] dx的
=∫（罪^ 2X + sinxcosx的Sinx）/ [（要写为sinx + cosx）^ 2-1] DX
=∫（SIN ^ 2倍+ sinxcosx - 氮化硅）/（2sinxcosx）DX
=（1/2 ）∫要写为sinx / cosx dx的+（1/2）∫dx的（1/2）∫1/cosx dx的
=（-1 / 2）∫1/cosx D（cosx）+（1/2） ∫dx的（1/2）∫secx dx的
=（1/2）的X LN（cosx）+（1/2）（1/2）的X（1/2）LN（secx +坦）+ C

详情如图所示

有任何疑惑，欢迎追问