阿Q吧 > 若实数m,n,x,y满足m2+n2=a,x2+y2=b(a≠b),则mx+ny的最大值为？

若实数m,n,x,y满足m2+n2=a,x2+y2=b(a≠b),则mx+ny的最大值为？

（m2 n2 表示m n的平方 , x2 y2 表示x y的平方）

2025-03-25 01:14:28

推荐回答（2个）

回答1：

m2+n2=a
x2+y2=b
可以看成两个圆的方程
化为参数方程,为
m=根号a *cosA
n=根号 a*sinA
x=根号b*cosB
y=根号b*sinB
所以,所求为
(根号ab)*(cosA*cosB+sinAsinB)
=(根号ab)*cos(A-B)
且cos取值范围为-1~1
所以,max=(根号ab)

回答2：

构造一个二次函数
f(t)=at²+2(mx+ny)t+b
=(m²+n²)t²+2(mx+ny)t+(x²+y²)
=(m²t²+2mxt+x²)+(n²t²+2nyt+y²)
=(mt+x)²+(nt+y)²
>=0
所以方程at²+2(mx+ny)t+b=0的判别式
△<=0
△=4(mx+ny)²-4(m²+n²)(x²+y²)<=0
(mx+ny)²<=(m²+n²)(x²+y²)=ab
所以mx+ny<=根号(ab)
mx+ny的最大值为根号(ab)