数学函数的定义

函数的定义

函数的传统定义：
设在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就称y是x的函数，x叫做自变量。
我们将自变量x取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。

函数的近代定义：
设A，B都是非空的数的集合，f：x→y是从A到B的一个对应法则，那么从A到B的映射f：A→B就叫做函数，记作y=f(x)，其中x∈A，y∈B，原象集合A叫做函数f(x)的定义域，象集合C叫做函数f(x)的值域，显然有CB。

符号y=f(x)即是“y是x的函数”的数学表示，应理解为：
x是自变量，它是法则所施加的对象；f是对应法则，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述；y是自变量的函数，当x为允许的某一具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值，当f用解析式表示时，则解析式为函数解析式。y=f(x)仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”，f(x)也不一定是解析式，在研究函数时，除用符号f(x)外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等符号来表示。

　　函数是数学中的一种对应关系，是从非空数集A到实数集B的对应。简单地说，甲随着乙变，甲就是乙的函数。精确地说，设X是一个非空集合，Y是非空数集 ，f是个对应法则 ， 若对X中的每个x，按对应法则f，使Y中存在唯一的一个元素y与之对应 ， 就称对应法则f是X上的一个函数，记作y＝f（x），称X为函数f（x）的定义域，集合{y|y=f（x），x∈R}为其值域（值域是Y的子集），x叫做自变量，y叫做因变量，习惯上也说y是x的函数。对应法则和定义域是函数的两个要素。

自然界里的观察量都可以看成是变量，然后我们从自然界里归纳出的自然规律常常表现为变量与变量之间的依赖关系。而函数实际上就是为了表述这些变量与变量之间的依赖关系而抽象出来的数学观念。
我们常常把相互之间具有依赖关系的一些变量区分为两类，一类被称为自变量，一类被称为因变量。因此这个依赖关系就可以理解为因变量如何被自变量决定的关系。
函数从一般的依赖关系中抽象出三个要素作为函数的基本要素。首先就是依赖关系本身，也即一个或几个变量（自变量）是如何决定另一个变量（因变量）的，这种决定关系还必须是唯一的，因为我们研究的这种依赖关系总是一种具有确定性的关系。也就是说，从一些自变量的数值，能够唯一地得到另一个因变量的数值。这是函数概念里的一个关键所在。也是初学者常常犯错误的地方。
要表示一种依赖关系，可以有很多的方式。