若函数y=f(x)的图像有一条对称轴x=a和一个对称中心(b,0),证明:y=f(x)是周期函数.

证明：函数f(x)关于(b,0)成中心对称等价于f(x)+f(2b-x)=0.............①
f(x)关于x=a成轴对称等价于f(x)=f(2a-x)..............................②
把②中的x用2a-x代替，则得f(2b-x)=f(2a-2b+x)..................③
把③式代回①中，则：f(x)+f(2a-2b+x)=0............................④
假设a>b，则：
把④中x用2a-2b+x代替，得：f(2a-2b+x)+f(4a-4b+x)=0......⑤
（若a ④⑤两式相减，得：f(x)-f(4a-4b+x)=0
即：f(x)=f(4a-4b+x)
所以T=4|a-b|是函数f(x)的一个周期

有一条对称轴x=a, ∴f(x+a) = f(x-a)
一个对称中心(b,0), ∴f(x+b) = - f(x-b)
对于任意t
f(t+a+b) = f(t+b-a) (条件一)
= -f(t-b-a) (条件二)
= -f(t-(a+b))
令M=a+b有f(t+M)=-f(t-M)=-f(t-2M+M)=-[-f(t-2M-M)]=f(t-3M)
T=4M=4(a+b)是原函数的一个周期，得证y=f(x)是周期函数。