高中数学解题方法及技巧

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分享高中数学椭圆解题方法

此回答为文科版，删去了原来比较难或用的不多的的一些知识点和相关例题，适用于文科生和基础稍差的理科生。

一、设点或直线

做题一般都需要设点的坐标或直线方程。点可以设为,就可以。还要注意的是，很多点的坐标都是设而不求的。对于一条直线，如果过定点并且不与y轴平行，可以设点斜式,如果不与x轴平行，可以设（m是倾斜角的余切，即斜率的倒数，下同）。如果直线不过定点，干脆在设直线时直接设为y=kx+m或x=my+n（注意：y=kx+m不表示平行于y轴的直线，x=my+n不表示平行于x轴的直线）

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二、转化条件

有的时候题目给的条件是不能直接用或直接用起来不方便的，这时候就需要将这些条件转化一下。对于一道题来说这是至关重要的一步，如果转化得巧，可以极大地降低运算量。下面列出了一些转化工具所能转化的条件。

向量：平行、锐角或点在圆外（向量积大于0）、直角或点在圆上、钝角或点在圆内（向量积小于0）、平行四边形

斜率：平行（斜率差为0）、垂直（斜率积为-1）、对称（两直线关于坐标轴对称则斜率和为0，关于y=±x对称则斜率积为1

使用斜率转化一定不要忘了单独讨论斜率不存在的情况！

几何：相似三角形（依据相似列比例式）、等腰直角三角形（构造全等）

有的题目可能不需要转化直接带入条件解题即可，有的题目给的条件可能有多种转化方式，这时候最好先别急着做题，多想几种转化方法，估计一下哪种方法更简单，三思而后行。

三、代数运算

转化完条件就剩算数了。很多题目都要将直线与椭圆联立以便使用一元二次方程的韦达定理，但要注意并不是所有题目都是这样。

解析几何中有的题目可能需要算弦长，可以用弦长公式

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解析几何中有时要求面积，如果O是坐标原点，椭圆上两点A、B坐标分别为和，AB与x轴交于D，则 (d是点O到AB的距离；第三个公式教材上没有，解要用的话需要把下面的推导过程抄一下)。

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解析几何中很多题都有动点或动直线。如果题目只涉及到一个动点时，可以考虑用参数设点。若是只涉及一个过定点的动直线，题目中又涉及到求长度面积之类的东西，这时设直线的参数方程会简单一些。

有的解析几何题目可能需要求一个分式的取值范围，所以我这里也总结一下常见的六种类型分式取值范围的求法。设，其中f(x)的次数为m，g(x)的次数为n

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在解析几何中还有一种方法叫点差法虽然适用范围不大，但是能用点差法做的题目用点差发真的会比常规方法简单不少。这类题目一般都会涉及到弦的中点，做题时一定不要忘了点差法的存在。设椭圆上两个点的坐标，将两点在椭圆上的方程相减，整理即可得到这两点的中点的横纵坐标与这两点连线的斜率的关系式，或者说得到两点联线斜率与中点与原点连线的斜率积。因为点差法得到的是斜率关系，所以将点差法与转化斜率关系一起使用效果更佳。（当然前提是这道题得能用斜率转化）

为了是大家更好地认识点差法，我单找了一些点差法的例题，希望大家能对点差法有更深的理解

例一

例二

例三

例三虽然是理科的题目，但是并不算难。

四、能力要求

做解析几何题，首先对人的耐心与信心是一种考验。在做题过程中可能遇到会一大长串的式子要化简，这时候，只要你方向没错，坚持算下去肯定能看到最终的结果。另外运算速度和准确率也是很重要的，在真正考试的时候肯定不像平时做题的时候能容你慢慢做题，因此需要有一定的做题速度，在做题的时候运算准确也是必须要保证的，因为一旦算错数，就很可能功亏一篑。

五、补充知识

这一部分主要说一些对做题有帮助的公式、定理、推论等内容

1、关于直线：

将直线的两点式整理后，可以得到这个方程:。据此可以直接写出过和两点的直线，至于这两点连线是否与x轴垂直，是否与y轴垂直都没有关系。对于一些坐标很复杂的点，可以直接代入这个方程便捷的得到过两点的直线。

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2、关于椭圆：

椭圆的焦点弦弦长为（其中α是直线的倾斜角，k是l的斜率）。右焦点的焦点弦中点坐标为，将横纵坐标都取相反数可得左焦点弦的中点坐标。

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上面给出的几个内容大都是教材中没有的，但这不代表这些东西在考场上不能用。比如关于直线的内容，用的时候先写两点式或点斜式，在写上面的形式，阅卷老师也不一定知道你是在套结论。如果想用关于椭圆的内容，可以装模作样地算算，实际上再套用结论，老师也未必能看出来。用这些结论，都能或多或少地减小运算量，降低算错的几率。

六、例题

下面看几道例题。建议大家看解题过程之前最好先自己做一做。就算不做也一定要看啊，里面涉及到有好多方法的！

例1

授之以鱼不如授之以渔，在教学过程中，巩固基础知识的同时更重要的是要培养良好的数学方法，培养自我学习的能力，逐步形成 “以我为主”的学习模式 。在学习过程中，要遵循认识规律，善于开动脑筋，积极主动去发现问题，注重新旧知识间的内在联系，不满足于现成的思路和结论，经常进行一题多解，一题多变，从多侧面、多角度思考问题，挖掘问题的实质。学习数学一定要讲究“活”，只看书不做题不行，只埋头做题不总结积累也不行。对课本知识既要能钻进去，又要能跳出来，结合自身特点，寻找最佳学习方法。我总结学习数学的行之有效的方法主要有：①善于归纳概括所学知识，将所学知识条理化，模块化。例如函数包括了基本初等函数，函数的性质，函数的图像等，要能够将这些知识在脑子里“过电影”②能够将所学知识进行分类和类比。例如直线的平行问题，在平面几何，立体几何，解析几何，空间向量都有涉及但是处理的知识和方法又各不相同，既有联系又有区别。③数形结合的思想。例如函数的许多问题都可以结合函数的图像来解决，譬如单调性，奇偶性，周期性，极值以及函数的零点问题都可以通过函数的图像顺利解决。④由简入繁，循序渐进的学习思路。任何难题都是有若干个简单题构成的，例如函数的单调性﹑不等式和导数结合起来就可以成为一个考察函数性质的大体。⑤能够灵活的将问题进行转换。在处理几何问题是转换的思想是非常重要的，例如证明平面平行平面的问题实际上是转换为两条相交直线平行一个平面的问题，既面面问题转换为线面问题。在这个学期的补习中我将这些实用和具体的方法通过具体的例题贯彻到教学中，力争取得良好的效果。
四 两点要求
（1）数学不是靠老师教会的，而是在老师的引导下，靠自己主动的思维活动去获取的。学习数学就要积极主动地参与学习过程，养成实事求是的科学态度，独立思考、勇于探索的创新精神。正确对待学习中的困难和挫折，败不馁，胜不骄，养成积极进取，不屈不挠，耐挫折的优良心理品质。
（2）建立数学纠错本。把平时容易出现错误的知识或推理记载下来，以防再犯。争取做到：找错、析错、改错、防错。达到：能从反面入手深入理解正确东西；能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药；解答问题完整、推理严密。

1.函数思想：
把某一数学问题用函数表示出来，并且利用函数探究这个问题的一般规律。这是最基本、最常用的数学方法。
2.数形结合思想：
把代数和几何相结合，例如对几何问题用代数方法解答，对代数问题用几何方法解答，这种方法在解析几何里最常用。例如求根号（(a-1)^2+(b-1)^2）+根号(a^2+(b-1)^2)+根号((a-1)^2+b^2)+根号(a^2+b^2)的最小值，就可以把它放在坐标系中，把它转化成一个点到(0,1)、(1,0)、(0,0)、(1,1)四点的距离，就可以求出它的最小值。
3.分类讨论思想：
当一个问题因为某种量的情况不同而有可能引起问题的结果不同时，需要对这个量的各种情况进行分类讨论。比如解不等式|a-1|>4的时候，就要讨论a的取值情况。
4.方程思想：
当一个问题可能与某个方程建立关联时，可以构造方程并对方程的性质进行研究以解决这个问题。例如证明柯西不等式的时候，就可以把柯西不等式转化成一个二次方程的判别式。
另外，还有归纳类比思想、转化归纳思想、概率统计思想等数学思想，例如利用归纳类比思想可以对某种相类似的问题进行研究而得出他们的共同点，从而得出解决这些问题的一般方法。转化归纳思想是把一个较复杂问题转化为另一个较简单的问题并且对其方法进行归纳。概率统计思想是指通过概率统计解决一些实际问题，如摸奖的中奖率、某次考试的综合分析等等。另外，还可以用概率方法解决一些面积问题

数学在于你的逻辑思维，基本公式先记牢，高中题型不是太多，多做题，遇到题时，先思考考的是什么，多练才行。