用数学归纳法证明：1的平方+2的平方+3的平方+…+n的平方=n(n+1)(2n+1)⼀6

假设n=k时成立

即1^2+2^2+3^3+……+k^2=k(k+1)(2k+1)/6

n=k+1时

1^2+2^2+3^3+……+k^2+(k+1)^2

=k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)^2

=(k+1)[k(2k+1)+6k+6]/6

=(k+1)[2k^2+7k+6]/6

=(k+1)(k+2)(2k+3)/6

=(k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1]/6

也成立

所以1的平方+2的平方+3的平方+…+n的平方=n(n+1)(2n+1)/6

简介

数学归纳法（Mathematical Induction, MI）是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个（或者局部）自然数范围内成立。

除了自然数以外，广义上的数学归纳法也可以用于证明一般良基结构，例如：集合论中的树。这种广义的数学归纳法应用于数学逻辑和计算机科学领域，称作结构归纳法。

在数论中，数学归纳法是以一种不同的方式来证明任意一个给定的情形都是正确的（第一个,第二个，第三个，一直下去概不例外）的数学定理。

数学归纳法
当n=1时 等式右边=1*2*3/6=1,成立
假设在n=k时
1^2+2^2……+k^2=k(k+1)(2k+1)/6成立
则n=k+1时
等式左边=1^2+2^2+……+k^2+(k+1)^2
=[k(k+1)(2k+1)/6]+(k+1)^2
=(k+1)[2k^2+k+6(k+1)]/6
=(k+1)(2k^2+7k+6)/6
=(k+1)(k+2)(2k+3)/6
而n=k+1时等式右边=(k+1)(k+2)(2k+3)/6
既左边=右边
故该式在n=k+1时也成立
所以该式在n为任何正整数时成立

n=1 左边=1 右边=1*2*3/6=1 左边等于右边 成立
假设n=k时成立
即
1^2+2^2+3^3+……+k^2=k(k+1)(2k+1)/6
n=k+1时
1^2+2^2+3^3+……+k^2+(k+1)^2
=k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)^2
=(k+1)[k(2k+1)+6k+6]/6
=(k+1)[2k^2+7k+6]/6
=(k+1)(k+2)(2k+3)/6
=(k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1]/6
也成立
所以1的平方+2的平方+3的平方+…+n的平方=n(n+1)(2n+1)/6

首先证明一个定理：
1X2+2X3+3X4+、、、、、、+nX(n+1）
=(1/3)(1*2*3-0*1*2)+(1/3)(2*3*4-1*2*3)+(1/3)(3*4*5-2*3*4)+....+(1/3)[n*(n+1)(n+3)-(n-1)*n*(n+1)]
=(1/3)[n(n+1)(n+2)-0]
=n(n+1)(n+2)/3 。。。。。。。。。。。。①
还有另一个求和公式
1+2+3+....................+n=n(n+1)/2。。。。。。。。。②

好了，现在①+②。
直接得出
1的平方+2的平方+3的平方+…+n的平方=n(n+1)(2n+1)/6。
是这样吗？呵呵，加油啊O(∩_∩)O~