阿Q吧 > 已知x^2⼀a^2+y^2⼀b^2=1(a>b>0),M, N是椭圆的左右顶点，P是椭圆上任意一点，且直线PM、PN

已知x^2⼀a^2+y^2⼀b^2=1(a>b>0),M, N是椭圆的左右顶点，P是椭圆上任意一点，且直线PM、PN

2024-11-30 23:25:30

推荐回答（2个）

回答1：

解：由于P点在椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1上，因此，设P点坐标为（acosθ，bsinθ），且M是椭圆左顶点，即M坐标为（-a，0），同理有N（a，0），因此直线PM的斜率k1=bsinθ/（acosθ+a），直线PN的斜率k2=bsinθ/（acosθ-a），假定P点在X轴上部，则|k1|+|k2|=bsinθ/（acosθ+a）+bsinθ/（a-acosθ）=2b/asinθ，若其有最小值1，则sinθ应取最大值1，即2b/a=1，由于a^2=b^2+c^2，，则将以上两式联立可得3a^2=4c^2，即椭圆的离心率e=c/a=√3/2。（当P点在X轴下部时，则|k1|+|k2|=-2b/asinθ，此时sinθ取最小值-1即可得到相同的答案）

回答2：

sqrt(3)/2. 设x = acost, y = b sint. 得斜率之和为：2b/(a|sint|) 最小值为2b/a=1得a=2b.即得.