连续、光滑的函数，一定可导吗？

2025-04-16 12:13:06

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回答1：

1 连续函数不一定可导，可导一定连续。比如函数y=｜x｜，连续但不可导；

2 光滑函数，一定可导。光滑的定义：若f的导函数在[a，b]上连续，则称f在[a，b]上光滑。

就是说光滑不但要求可导，而且要求导函数也连续，这要比仅仅要求函数可导条件更为

苛刻一些。

从应用来说，连续函数在分析学基础课程里出现较多；

而光滑的概念，则在傅里叶级数里开始出现，至于后续分析课程，比如调和分析，微分几何，

偏微分方程等等，因为对函数要求更高而更多使用光滑或者分段光滑的概念。

下图是函数y=｜x｜的图像，在原点连续但不可导。类似的例子非常多。

回答2：

光滑不一定可导。抛物线x=y^2，开口向x轴正方向，在0处是光滑的，但是其切线是y轴，垂直于x轴，斜率不存在，所以导数不存在，即不可导

f（x）光滑的定义应该是：f（x）处处有切线，有切线，切线，，不是有斜率，不是斜率。因为有切线不一定有斜率，y轴也可以是切线，但是没有斜率

回答3：

光滑就说明了函数是可导的。