求齐次线性方程组 x1+x2-2x4=0,4x1-x2-x3-x4=0,3x1-x2-x3=0的基础解系及其通解

基础解系通解：（-1/2,5/2,-4,1）,通解在前面成个k

例如：

该方程组的系数矩阵为

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 3 -1 -2 →du 0 1 -3 -4 → 0 1 -3 -4

5 6 2 1 0 1 -3 -4 0 0 0 0

所以原方程组与方程组X1+X2+X3+X4=0，x2-3x3-4x4=0同解，令x3=1,x4=0,得到方程组的一个解为(-4,3,1,0)^T，再令x3=0,x4=1，得到方程组的另一个与之线性无关的解为(-5,4,0,1)^T。因此，原方程组的一个基础解系为(-4,3,1,0)^T，(-5,4,0,1)^T。

通解为k1(-4,3,1,0)^T+k2(-5,4,0,1)^T,k1,k2∈P。

扩展资料：

设其系数矩阵为A，未知项为X，则其矩阵形式为AX=0。若设其系数矩阵经过初等行变换所化到的行阶梯形矩阵的非零行行数为r，则它的方程组的解只有以下两种类型：

当r=n时，原方程组仅有零解；

当r

对齐次线性方程组的系数矩阵施行初等行变换化为阶梯型矩阵后，不全为零的行数r（即矩阵的秩）小于等于m（矩阵的行数），若mr,则其对应的阶梯型n-r个自由变元，这个n-r个自由变元可取任意取值，从而原方程组有非零解（无穷多个解）。

参考资料来源：百度百科-齐次线性方程组

基础解系通（-1/2,5/2,-4,1）,通解在前面成个k。

解析如下：

X1+2x2+x3=8 ①

2x1-x2+3x3=9②

.......X2-x3=-1③

①×2-②，5x2-x3=7④

由③④解得x2=2,x3=3

代入①，x1=1

非齐次线性方程组Ax=b的求解步骤：

（1）对增广矩阵B施行初等行变换化为行阶梯形。若R(A)

（2）若R(A)=R(B)，则进一步将B化为行最简形。

（3）设R(A)=R(B)=r；把行最简形中r个非零行的非0首元所对应的未知数用其余n-r个未知数（自由未知数）表示，并令自由未知数分别可写出含n-r个参数的通解。

基础解系通解：（-1/2,5/2,-4,1）,通解在前面成个k