用数学归纳法证明：1+1⼀根号2+1⼀根号3+....+1⼀根号<2根号n 求详解

令n=k时，成立，1+1/√2+1/√3+┄┄+1/√k<2√k；  

当n=k+1时，上式左边=1+1/√2+1/√3+┄┄+1/√k+1/√(k+1)，上式右边=2√k+1/√(k+1)，  

∵4k²+4k<4k²+4k+1，∴2√k√(k+1)<2k+1，∴2√k√(k+1)+1<2k+2，∴2√k+1/√(k+1)<2√(k+1),  

则上式右边=2√k+1/√(k+1)<2√(k+1)，即1+1/√2+1/√3+┄┄+1/√k+1/√(k+1)<2√(k+1)成立。

扩展资料：

数学归纳法的原理：

递推的基础：证明当n=1时表达式成立。  

递推的依据：证明如果当n=m时成立，那么当n=m+1时同样成立。  

这种方法的原理在于第一步证明起始值在表达式中是成立的，然后证明一个值到下一个值的证明过程是有效的。如果这两步都被证明了，那么任何一个值的证明都可以被包含在重复不断进行的过程中。

参考资料来源：百度百科-数学归纳法

当n=1时，左边=1<2=右边，不等式成立；
假设当n=k时不等式成立，
即1+1/√2+1/√3+....+1/√k<2√k （1）
下证当n=k+1时也成立
（1）两边同时加1/√(k+1)得：
左边=1+1/√2+1/√3+....+1/√k+1/√(k+1)<2√k+[1/√(k+1)]=[2√k*√(k+1)+1]/√(k+1) （2）
下面证明：2√k*√(k+1)+1<2(k+1)
即证：2√k*√(k+1)<2k+1
两边平方，即证：4k(k+1)<4k²+4k+1，此式显然成立，
因此2√k*√(k+1)+1<2(k+1)
对于（2）
左边<[2√k*√(k+1)+1]/√(k+1)<2(k+1)/√(k+1)=2√(k+1)=右边
因此当n=k+1时，不等式成立，证毕。

1 n=1时,显然成立
2 假设n=k时成立 即
1+1/更号2+…+1/根号k<1/根号k
n=k+1时
左边=(1+1/根号2+…+1/根号k)+1/根号k+1<2根号k+1/根号k+1
2根号k+1- (2根号k+1/根号k+1)
=2(根号k+1-根号k)-1/根号k+ 1
=2( (根号k+1-根号k)*( 根号k+1+根号k))/ (根号k+1+根号k) -1/根号k+ 1
=2/ (根号k+1+根号k)-1/根号k+1
>2/ (根号k+1+根号k+1)-1/根号k+1
=0
所以左边- 2根号k+1<0
即左边<右边
综上所述 成立

n=1时 左边=1 右边=2 成立
假设n=k时成立
即1+1/√2+1/√3+.....+1/√k<2√k
那么n=k+1时
左边=1+1/√2+1/√3+.....+1/√k+1/√(k+1)
<2√k +1/√(k+1)
=2√k + 2/ 2√(k+1)
<2√k +2/[√(k+1) +√k]
=2√k +2√(k+1) -2√k
=2√(k+1)
即n=k+1时也成立
所以对一切 n∈N*，均有1+1/√2+1/√3+.....+1/√n<2√n

证明：当n=1时，1＜2成立。 假设当n=k，1+1/根号2+1/根号3+...+1/根号k＜2根号k 成立；则当n=k+1时，1+1/根号2+1/根号3+...+1/根号k+1/根号(k+1）＜2根号k+1/根号(k+1)通分2√k+1/√(k+1)=(2√k√(k+1)+1)/√k+1,∵2√k√(k+1)+1＜k+k+1+1（此处运用均值不等式因为k不可能等于k+1，所以等号不成立）.而2√(k+1)=2√(k+1)^2/√(k+1),2√(k+1)^2=k+k+1+1(因为k+1=k+1，所以取等），∴2√k√(k+1)+1＜2√(k+1)^2∴2√k+1/√(k+1)＜2√(k+1)∴当n=k+1时，1+1/根号2+1/根号3+...+1/根号k+1/根号(k+1）＜2根号(k+1)成立∴对于任何n∈N+ 此不等式均成立。