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在直三棱柱ABC-A1B1C1中,角ACB是直角，CB=1，CA=根号3，AA1=根号6，M为侧棱CC1上一点，且AM垂直BA1.

2025-03-01 22:27:25

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回答1：

第一个问题：
方法一：
∵ABC－A1B1C1是直三棱柱，∴BC⊥CC1。
∵∠ACB＝90°，∴BC⊥AC。
由BC⊥CC1、BC⊥AC、CC1∩AC＝C，得：BC⊥平面ACC1A1，而AM在平面ACC1A1上，
∴AM⊥BC，又AM⊥BA1、BC∩BA1＝B，∴AM⊥平面A1BC。

方法二：
以点C的原点、CA、CB、CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，并使A、B、C1分别落在x轴、y轴、z轴的正半轴上。
容易写出以下各点的坐标：
A（√3，0，0）、B（0，1，0）、C（0，0，0）、A1（√3，0，√6）、C1（0，0，√6）。

令点M的坐标为（0，0，t）。则：
向量AM＝（－√3，0，t）、向量CB＝（0，1，0），
∴向量AM·向量CB＝0＋0＋0＝0，∴AM⊥CB，又AM⊥BA1，而CB∩BA1＝B，
∴AM⊥平面A1BC。

第二个问题：
方法一：
由第一个问题的结论，有：AM⊥平面A1BC，∴AM⊥AC。
令AM与A1C的交点为N。由AN⊥CN。
∵ABC－A1B1C1是直三棱柱，∴AA1⊥AC。
由勾股定理，有：A1C＝√（AA1^2＋AC^2）＝√（6＋3）＝3。
由三角形面积公式，有：△AA1C的面积＝（1/2）AA1×AC＝（1/2）A1C×AN，
∴√6×√3＝3AN，∴AN＝√2。
再由勾股定理，有：CN＝√（AC^2－AN^2）＝√（3－2）＝1。

由第一个问题的方法一叙述过程，有：BC⊥平面ACC1A1，即BC⊥平面ACM，
∴CN是BN在平面ACM上的射影，∴∠BNC是二面角B－AM－C的平面角。
∴tan∠BNC＝BC/CN＝1/1＝1，∴∠BNC＝45°。
∴二面角B－AM－C的大小为45°。

方法二：
依第一个问题的方法二建立空间直角坐标系。则：
向量AM＝（－√3，0，t）、向量BA1＝（√3，－1，√6）。
∵AM⊥BA1，∴向量AM·向量BA1＝0，∴－3＋0＋√6t＝0，∴t＝3/√6＝√6/2。
∴向量AM＝（－√3，0，√6/2）。

令A1C与AM的交点为N，则可设向量AN＝k向量AM＝（－√3k，0，√6k/2），其中k不为0。
∵向量AC＝（－√3，0，0），∴向量CN＝向量AN－向量AC＝（√3－√3k，0，√6k/2）。
由第一个问题的结论，有：AM⊥平面A1BC，∴AN⊥CN，∴向量AN·向量CN＝0，
∴－√3k（√3－√3k）＋0＋6k^2/4＝0，∴－3＋3k＋3k/2＝0，∴－1＋k＋k/2＝0，∴k＝2/3。

∴向量CN＝（√3/3，0，√6/3），而向量CB＝（0，1，0），
∴向量BN＝向量CN－向量CB＝（√3/3，－1，√6/3）。
∴｜向量CN｜＝√（1/3＋0＋6/9）＝1、｜向量BN｜＝√（1/3＋1＋6/9）＝√2。
　向量CN·向量BN＝1/3＋0＋6/9＝1。

由第一个问题的方法一叙述过程，有：BC⊥平面ACC1A1，即BC⊥平面ACM，
∴CN是BN在平面ACM上的射影，∴∠BNC是二面角B－AM－C的平面角。
而cos∠BNC＝向量CN·向量BN/（｜向量CN｜｜向量BN｜）＝1/√2，∴∠BNC＝45°，
∴二面角B－AM－C的大小为45°。

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