利用柯西中值定理证明。
设g(x)=lnx,则根据条件可知:
f(x),g(x)在(a,b)上满足柯西中值定理条件,
∴在(a,b)上存在ξ,使得:
[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]=f'(ξ)/g'(ξ)
即:[f(b)-f(a)]/ln(b/a)=f'(ξ)/(1/ξ)
移项整理即得:f(b)-f(a)=ξf'(ξ)ln(b/a)
这样可以么?
设g(x)=f(x)e^x,由题意知g(x)连续且可导,
又∵g(a)=g(b)=0, 由罗尔定理必有g'(§)=0
g'(§)=f'(§)e^§+f(§)e^§=0
即 f(§)+f'(§)=0
证毕。