为什么二阶导数能判断函数凹凸性

一阶导数反映的是函数斜率，而二阶导数反映的是斜率变化的快慢，表现在函数的图像上就是函数的凹凸性。f′′(x)>0，开口向上，函数为凹函数，f′′(x)<0，开口向下，函数为凸函数。

凸凹性的直观理解：设函数y=f(x)在区间I上连续，如果函数的曲线位于其上任意一点的切线的上方，则称该曲线在区间I上是凹的；如果函数的曲线位于其上任意一点的切线的下方，则称该曲线在区间I上是凸的。

扩展资料

确定曲线y=f(x)的凹凸区间和拐点的步骤：

1、确定函数y=f(x)的定义域；

2、求出在二阶导数f"(x)；

3、求出使二阶导数为零的点和使二阶导数不存在的点；

4、判断或列表判断，确定出曲线凹凸区间和拐点。

一阶导数反映的是函数斜率，而二阶导数反映的是斜率变化的快慢，表现在函数的图像上就是函数的凹凸性。f′′(x)>0，开口向上，函数为凹函数，f′′(x)<0，开口向下，函数为凸函数。

凸凹性的直观理解：设函数y=f(x)在区间I上连续，如果函数的曲线位于其上任意一点的切线的上方，则称该曲线在区间I上是凹的；如果函数的曲线位于其上任意一点的切线的下方，则称该曲线在区间I上是凸的。

基本的求导法则如下：

1、求导的线性：对函数的线性组合求导，等于先对其中每个部分求导后再取线性组合（即①式）。

2、两个函数的乘积的导函数：一导乘二+一乘二导（即②式）。

3、两个函数的商的导函数也是一个分式：（子导乘母-子乘母导）除以母平方（即③式）。

4、如果有复合函数，则用链式法则求导。

如果一个函数f(x)在某个区间I上有f''(x)（即二阶导数）>0恒成立，那么对于区间I上的任意x,y，总有：f(x)+f(y)≥2f[(x+y)/2]，如果总有f''(x)<0成立，那么上式的不等号反向。

如果一个函数f(x)在某个区间I上有f''(x)（即二阶导数）>0恒成立，那么在区间I上f(x)的图象上的任意两点连出的一条线段，这两点之间的函数图象都在该线段的下方，反之在该线段的上方。

函数的凸凹性是根据函数切线变化率的变化趋势来判断的。函数切线的变化率就是一阶导数，一阶导数的导数即二阶导数，反映了函数切线变化率的变化趋势，即函数切线的斜率何时为正、负或零，确定拐点，从而判断函数曲线的凸凹性。二阶导数值的正负正好反映了这种情况，所以可以判断函数凸凹性。

因为随着凹凸变化，曲线的切线斜率会出现相应的改变。
1在凹最低处或凸最高处，切线斜率为0，即一阶导数为0
2在凹图象最低处左右，一阶导数从最低处左方的>0趋于右方的<0,这一过程二阶导数>0
在凸图象最高处左右，一阶导数从最高处左方的<0趋于右方的>0,这一过程二阶导数<0
因此根据二阶导数可以判断函数的凹凸性质