求不定积分∫√(1-2X-X^2)dx

2024-11-08 03:02:56

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回答1：

√(1-2X-X^2)=√(2-(x+1)^2)
x+1=根2sint，t=arcsin(x+1)/根2,dx=根2costdt
∫√(1-2X-X^2)dx
=S根2cost*根2costdt
=S2(cost)^2dt
=S(cos2t+1)dt
=1/2*sin2t+t+c

t=arcsin(x+1)/根2代入化简即可

回答2：

令 x+1=√2*cost，则 √(1-2x-x^2)=√[2-(x+1)^2]=√[2-2(cost)^2]=√2*sint，
且 dx=-√2*sint*dt
所以原式=∫[-2(sint)^2]dt=∫(cos2t-1)dt=1/2*sin2t-t+C
由 (x+1)^2=2(cost)^2=1+cos2t ，
因此，所求积分=..........

回答3：

∫√(1-2X-X^2)dx
=∫√(2-(1+2X+X^2))dx
=∫√(2-(1+X)^2)d(1+x)
=∫√(2-(1+X)^2)d(1+x)
=(x+1)/8(20-2(1+x)^2(√(2-(1+X)^2))+6arcsin((x+1)/2)