楼上的思路不好，不容易想到，不是标准的思路。
标准的思路，应该是让两个根式平方和出现，就可以利用a+b=1，使得不等式一边成为常数。
过程：利用基本不等式(x+y)^2<=2(x^2+y^2),得到
[根号(a+1/2)+根号(b+1/2)]^2<=2（a+b+1）=4
根号(a+1/2)+根号(b+1/2)<=2
令m=√（x+0.5）,n=√（y+0.5）
即m∧2+n∧2=2
根据平方平均大于等于算术平均
√(（m∧2+n∧2）/2)≥（m+n）/2
所以m+n≤2
根号(a+1/2)+根号(b+1/2)小于等于2
因为xy<=(x^2+y^2)/2
所以 根号(a+1/2）*1<=(a+1/2+1)/2
根号(b+1/2）*1<=(b+1/2+1)/2
两式相加，得到 根号(a+1/2)+根号(b+1/2)<=(a+b+3)/2=2
希望对你有帮助！
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