关于开根号后，正负的问题。

2025-01-05 05:45:45

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回答1：

t=√1+x²,x应该是等于±√t²-1,只写正值可以么?
由于t=√1+x²≥0，因此x应该等于±√t²-1
√t²-1=√1+x²-1=√x²应该等于±x，只写x可以么，
这个地方也是不可以的，因为√t²-1=√1+x²-1=√x²≥0，本题不是定积分，因此无法判断x的正负。
由于这个题目的被积函数是个偶函数，如果考虑定积分，则相应的比较容易区分x的范围。

这个题目应该这样做
∫xarctanx/√(1+x^2)dx(先凑微分）
＝1/2∫arctanx/√(1+x^2)d(1+x^2)
=∫arctanxd√(1+x^2) (用分步积分）
=√(1+x^2)arctanx-∫√(1+x^2)darctanx
=√(1+x^2)arctanx-∫√(1+x^2)/(1+x^2)dx
=√(1+x^2)arctanx-1/2∫1/√(1+x^2)dx
=√(1+x^2)arctanx-1/2ln[x+√(1+x^2)]+C

这个是正解