替代效应的希克斯

替代效应是指消费者实际收入不变时，某种商品价格变化使得消费者选择该种商品的替代品，造成对该商品需求量的影响。
斯勒茨基分解下的，替代效应：
1、完全互补情况下，替代效应为零，总效应为收入效应。
2、完全替代情况下，总效应为替代效应，收入效应为零。
3、拟线性偏好情况下，总效应为替代效应，收入效应为零。 如前所述，替代效应是指商品相对价格变化后，而令消费者实际收入不变情况下所引起的商品需求量的变化。希克斯替代效应与斯勒茨基替代效应的差别，在于他们对什么是消费者实际收入不变所下的不同定义。在希克斯替代效应中，实际收入不变是指使消费者在价格变化前后保持在同一条无差异曲线上；而在斯勒茨基替代效应中，实际收入不变是指消费者在价格变化后能够买到价格变动以前的商品组合。
图-4　希克斯替代效应与斯勒茨基替代效应
图-1到图-3中所讨论的替代效应都属于希克斯替代效应。我们利用图-4讨论斯勒茨基替代效应，并与希克斯替代效应进行比较。
图-4中的横坐标表示某种特定的商品，纵坐标y表示除了x商品以外的所有其他商品。我们讨论y商品价格不变，x商品价格下降以后的斯勒茨基替代效应。x商品降价前，预算线为aj0，aj0与无差异曲线U0相切于E点，E点是消费者效用最大化的均衡点。在E点，x商品的购买量为q0。x商品降价后，预算线变为aj3，消费者效用最大化的均衡点为P点。
假定我们想在x商品降价后维持消费者的实际收入不变。按照希克斯替代效应中所定义的实际收入，应该使消费者在新的价格比率下回到x商品降价前的无差异曲线上，通过画一条与aj3相平行、并与原无差异曲线U0相切的预算线可以保证这种意义上的实际收入不变。图-4中a1j1线便是我们所需要的预算线，a1j1与U0相切于R点，与R点相对应的x商品的购买量为q1，q1 − q0便是希克斯替代效应。
按照斯勒茨基替代效应中所定义的实际收入，若想在x商品降价后维持消费者的实际收入不变，应该使消费者在新的价格比率下能够购买他在降价前所能购买的商品数量，即能够购买图-4中E点所表示的商品数量。通过画一条与预算线aj3相平行、并且过E点的预算线可以保证这种意义上的实际收入不变。图-4中的a2j2线便是我们所需要的预算线。a2j2和一条高于无差异曲线U0、低于无差异曲线U2的无差异曲线U1相切，切点为T。与T点相对应的x商品的购买量为q2。q2 − q0为斯勒茨基替代效应。由于q2大于q1，所以斯勒茨基替代效应大于希克斯替代效应。
我们也可以用代数式讨论斯勒茨基替代效应。令消费者的货币收入为M，降价前x商品的价格为Px，降价后为P`x，降价前对x商品的需求函数为
x = x(Px,M)（3.35）
降价后对x商品的需求函数为
x`=x(P`x,M`) (3.36）
x商品降价后对x商品需求的总效应为
Δx =x(P`x,M)-x(Px,M) （3.37）
分为两部分，收入效应Δxm与替代效应Δx5，
Δx = Δxm + Δx5（3.38）
Δx5=x(P`x,M)-x(Px,M) （3.39）
其中是在x降价为后，为了维持降价前的购买数量组合而调整后的收入。
Δxm=x(P`x,M)-x(P`x,M`) （3.40）
因此， Δx =Δxm+Δx5=[x(P`x,M`)-x(Px,M)]+[x(P`x,M)-x(P`x,M`) ]（3.41）
（3.41）式与（3.37）式虽然是恒等式，但（3.41）式是以代数形式将商品价格变化后的收入效应与替代效应明确地表示出来。
由Δx = Δxm + Δx5，我们知道，x商品价格变动后总效应Δx符号取正的值还是取负的值，取决于x商品是工常品、一般劣等品、还是吉芬商品。我们分x商品降价与提价两种情况进行讨论。
若x商品降价，Δx5总是取正的值。对于正常品而言，Δxm也取正的值，因此总效应Δx的值是正的；对于一般劣等品而言，降价后，Δxm取负的值，但从绝对值讲，Δxm小于Δx5，因此总效应Δx的值仍然是正的；对于吉芬商品而言，降价后，Δxm取负的值，而且从绝对值讲，Δxm大于Δx5，因此总效应Δx的值是负的。
若x商品提价，Δx5总是取负的值。对于正常品而言，Δxm也取负的值，因此总效应Δx的值是负的；对于一般劣等品而言，提价后，Δxm取正的值，但从绝对值讲，小于Δx5，因此总效应Δx的值仍然是负的；对于吉芬商品而言，提价后，取正的值，而且从绝对值讲，Δxm大于Δx5，因此总效应Δx的值是正的。
在x商品价格变动后，要维持消技者的实际收入不变，即要使消费者能够买得起x商品价格变动前他所购买的各种商品组合量，收入应该变动多大的数量？也就是说，当x商品的价格变动为ΔPx时，ΔM是多少？可以证明
ΔM=ΔPx·x（3.42）
（3.42）式的推导过程如下。假定消费者消费x、y（y代表除x商品以外的所有其他商品）两种商品。x商品价格变动前，消费者的预算线为
M=ΔPx·x+Py·y（3.43）
x商品价格由Px变为P`x后，要便消费者仍能购买他在价格变动前所能购买的x、y数量，预算线应该是
M`=P`x·x+Py·y（3.44）
我们已经指出，M'是x商品价格变动后，为了维持价格变动前的购买数量组合而调整后的收入。由（3.43）式与（3.44）式我们得到
这便是（3.42）式。