求证布朗运动-随机微分方程课程

sqr(·)表示平方根
(1) Y满足的方程，用Ito公式即可
dY=2(2-X)Xdt+2Xsqr(X)dBt+XdBt=(5X-2X^2)dt+2Xsqr(X)dBt
(2) 先把X的微分方程携程积分形式，积分限是从0到t，下面省略不写
Xt=X0+∫(2-Xs)ds+∫sqr(Xs)dBs ，两边取期望，最后一项是鞅，期望为0，变为
EXt=EX0+E∫(2-Xs)ds
=EX0+∫E(2-Xs)ds
=EX0+2t-∫EXsds
令f(t)=EXt，则

因为我是键盘码字，为书写方便，我改一下你题目中的符号，令W(t)=B(t+t0)-B(t0)
这里要证W是布朗运动，只需验证是否符合定义。
任取两个时间 0(1) W(t)显然是连续的 因为B(t)的连续性
(2)W(t)服从高斯分布 因为W(t)是B在t0到t的增量
(3)W具有独立增量
W(s)-W(t)=B(s+t0)-B(t+t0), W(t)=B(t+t0)-B(t0)
B在两个不相交的时间区间上的增量相互独立，所以W(s)-W(t)与W(t)独立。
(4) E[W(s)W(t)]=E[(B(s+t0)-B(t0))*(B(t+t0)-B(t0))]
=E[(B(s+t0)-B(t+t0)+B(t+t0)-B(t0))*(B(t+t0)-B(t0))]
=E[(B(s+t0)-B(t+t0))*(B(t+t0)-B(t0))]+E[(B(t+t0)-B(t0))^2]
=E[B(s+t0)-B(t+t0)]*E[B(t+t0)-B(t0)]+E[(B(t+t0)-B(t0))^2]
=0+E[(B(t+t0)-B(t0))^2]
=E[B^2(t+t0)+B^2(t0)-2B(t+t0)B(t0)]
=t+t0+t0-2t0
=t=min{s,t}

代码如下：
syms x u d r n
F=1/((1+x)*sqrt(2*pi*d^2))*exp(-(log(1+x)+d^2/2)^2/(2*d^2)); %对数正态分布的分布函数
f=1/(x*sqrt(2*pi*d^2))*exp(-1/2*((log(x)-u)/d)^2); %对数正态分布的密度函数
frn=(vpa('n!')/(vpa('(r-1)!')*vpa('(n-r)!')))*F^(r-1)*(1-F)^(n-r)*f; %次序统计量密度函数
Ern=int(x*frn,x,0,1)