∫(1,e)dx⼀x(1-(lnx)^2)^(1⼀2)讨论收敛性 若收敛 求其值

分析该积分，瑕点为x=e，那么我们设
lim[x->e] [(x-e)^p]/[x√(1-ln²x)] = A, (其中p为待求实数,A∈(0,∞))
令x-e=t,x->e-,t->0-,原式变为lim[t->0-] (t^p)/[(t+e)√(1-ln²(t+e))]
= lim[t->0] [(t^p)/[e√(1-ln(t+e))(1+ln(t+e))]= lim[t->0] [(t^p)/[(√2)e√(1-ln(t+e))]
=lim[t->0] [(t^p)/[(√2)e√(1-(lne+ln(t/e+1))]=lim[t->0] [(t^p)/[(√2)e√(-ln(t/e+1))]
=lim[t->0] [(t^p)/[(√2)e√(-t/e+o(t))]=A -------- (o(t)是t的高阶无穷小，这里用等价无穷小替换或者泰勒展开都可以求得)
可以求出p=1/2,所以存在p=1/2,0e] [(x-e)^p]/[x√(1-ln²x)]成立，原积分收敛

计算积分：∫[1->e] dx/[x√(1-ln²x)] =∫[1->e] dlnx/√(1-ln²x)
令t=lnx,t∈(0,1),原式=∫[0->1] dt/√(1-t²)=arcsint | [0->1]=π/2

1/x＝d(lnx)，所以换元t=lnx，原式＝∫(0,1) 1/√(1-t^2) dt，其原函数是arcsint，代入上下限，结果是π/2。所以积分收敛，值是π/2