阿Q吧 > 设 f(x)在〔a,b〕上具有一阶连续导数，且｜f‘ (x)｜≤M，f(a)=f(b)=0,求证∫(a,b)f(x)dx≤M⼀4(b-a)^2

设 f(x)在〔a,b〕上具有一阶连续导数，且｜f‘ (x)｜≤M，f(a)=f(b)=0,求证∫(a,b)f(x)dx≤M⼀4(b-a)^2

谢谢~∫()里的两个数分别表示上下限

2024-11-01 14:20:17

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回答1：

存在c(i)∈(a,b)，使得f'(c(i))=0 (i=1,2,3...n)[i是下标]
设a则在(a,c1),(c1,c2)...(c(n),b)上，f'(x)为单调函数.

不难得出：
增区间上：0间区间上：-M≤f'(x)<0

设a=c0,b=c(n+1)

则有
∑∫(c(k),c(k+1))f'(x)dx + ∑∫(c(j),c(j+1))f'(x)dx = ∫(a,b)f'(x)dx=f(b)-f(a)=0
其中(c(k),c(k+1))是增区间，(c(j),c(j+1))是减区间

那么有不等式
0 < ∑∫(c(k),c(k+1))f'(x)dx ≤ ∑∫(c(k),c(k+1))Mdx = M∑(c(k+1)-c(k))
0 > ∑∫(c(j),c(j+1))f'(x)dx ≥ ∑∫(c(j),c(j+1))(-M)dx = -M∑(c(j+1)-c(j))

则可求f(x)最值
f(x)≤∑∫(c(k),c(k+1))f'(x)dx ≤M∑(c(k+1)-c(k))
f(x)≥∑∫(c(j),c(j+1))(-M)dx ≥-M∑(c(j+1)-c(j))