怎么求向量组的极大线性无关组

设S是一个n维向量组，α1,α2,...αr 是S的一个部分组，如果满足

(1) α1,α2,...αr 线性无关；

(2) 向量组S中每一个向量均可由此部分组线性表示，那么α1,α2,...αr 称为向量组S的一个极大线性无关组，或极大无关组。

在变换到阶梯矩阵之后，每一行第一个非零元素所在列对应的向量组合起来就是极大线性无关组。

极大线性无关组一般都不是只有1个，只要向量组自身不是极大线性无关组，那么就一定有2个或以上的极大线性无关组，但是一般习惯于用数字小的向量，比如会选择X1、X2、X3，而不会选择X1、X2、X4。

扩展资料：

1、等价向量组具有传递性、对称性及反身性。但向量个数可以不一样，线性相关性也可以不一样。

2、任一向量组和它的极大无关组等价。

3、向量组的任意两个极大无关组等价。

4、两个等价的线性无关的向量组所含向量的个数相同。

5、等价的向量组具有相同的秩，但秩相同的向量组不一定等价。

参考资料来源：百度百科-等价向量组

极大线性无关组按照先将向量按列排列写出对应的矩阵，接着用初等行变化将其化为阶梯型（注意只能用行变化，列变化会改变向量），在阶梯型中找到非零元，非零元所在的列对应的向量就是极大线性无关组中的向量。只需要将这些向量组合，就是所要求的极大线性无关组。

在这求的过程中，需要注意一个问题，在求极大线性无关组的时候，按照向量按照列排列，就一定要用初等行变化使矩阵变为阶梯型，若是按照行的方向排向量的话就是使用初等列变化将其变为阶梯型。

扩展资料：

极大线性无关组基本性质

1、只含零向量的向量组没有极大无关组；

2、一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身；

3、极大线性无关组对于每个向量组来说并不唯一，但是每个向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量；

4、齐次方程组的解向量的极大无关组为基础解系。

5、任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价。

6、一向量组的任意两个极大线性无关组都是等价的。

7、若一个向量组中的每个向量都能用另一个向量组中的向量线性表出，则前者极大线性无关向量组的向量个数小于或等于后者。 

参考资料：百度百科-极大线性无关组

例如x1= 1，2，3

x2=4，5，6。

x3 = 7 ，8，9。

组成矩阵

1，4，7。

2，5，8。

3，6，9。

第一列消去第二列第三列的第一行得到

1，0，0。

2，-3，-6。

3，-6，-12。

设a1,a2,…,ar与b1,b2,…,bs是两个向量组，如果：

（1）向量组a1,a2,…,ar可以经b1,b2,…,bs线性表出；

（2）r>s；

那么向量组a1,a2,…,ar必线性相关。

扩展资料：

（1）只含零向量的向量组没有极大无关组；

（2）一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身；

（3）极大线性无关组对于每个向量组来说并不唯一，但是每个向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量；

（4）齐次方程组的解向量的极大无关组为基础解系。

（5）任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价。

（6）一向量组的任意两个极大线性无关组都是等价的。

（7）若一个向量组中的每个向量都能用另一个向量组中的向量线性表出，则前者极大线性无关向量组的向量个数小于或等于后者。

参考资料来源：百度百科-极大线性无关组

1、极大线性无关组（maximal linearly independent system）是线性空间的基对向量集的推广。

其定义为：设S是一个n维向量组，α1,α2,...αr 是S的一个部分组，如果满足(1) α1,α2,...αr 线性无关；(2) 向量组S中每一个向量均可由此部分组线性表示，那么α1,α2,...αr 称为向量组S的一个极大线性无关组，或极大无关组。

2、基本性质

（1）只含零向量的向量组没有极大无关组；

（2）一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身；

（3）极大线性无关组对于每个向量组来说并不唯一，但是每个向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量；

（4）齐次方程组的解向量的极大无关组为基础解系。

（5）任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价。

（6）一向量组的任意两个极大线性无关组都是等价的。

（7）若一个向量组中的每个向量都能用另一个向量组中的向量线性表出，则前者极大线性无关向量组的向量个数小于或等于后者。

1、极大线性无关组（maximal linearly independent system）是线性空间的基对向量集的推广。其定义为：设s是一个n维向量组，α1,α2,...αr 是s的一个部分组，如果满足(1) α1,α2,...αr 线性无关。(2) 向量组s中每一个向量均可由此部分组线性表示，那么α1,α2,...αr 称为向量组s的一个极大线性无关组，或极大无关组。2、基本性质。（1）只含零向量的向量组没有极大无关组。（2）一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身。（3）极大线性无关组对于每个向量组来说并不唯一，但是每个向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量。（4）齐次方程组的解向量的极大无关组为基础解系。（5）任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价。（6）一向量组的任意两个极大线性无关组都是等价的。（7）若一个向量组中的每个向量都能用另一个向量组中的向量线性表出，则前者极大线性无关向量组的向量个数小于或等于后者。