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若（1+2x）的n次展开式中二项式系数和为2048，求展开式中二项式系数最大的项和展开式中系数最大

2025-03-23 17:15:01

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回答1：

(1+2x)^n=
n
∑ C(n,i) 1^(n-i)*(2x)^i=
i=0
n
∑ C(n,i) 2^i*x^i=
i=0
二项式系数和为2048，也即
n
∑ C(n,i) =2^n=2048=2^11
i=0
故n=11
二项式系数最大的项显然为
C(11,5)=C(11,6)=462
展开式系数为bi=C(11,i) *2^i
计算b(i+1)/bi=
C(11,i+1) *2^(i+1)/[C(11,i) *2^i]=
[11*10*……*(11-i)/(i+1)!]*2^(i+1)/
{[11*10*……*(12-i)/i!]*2^i}=(22-2i)/(i+1)
令(22-2i)/(i+1)≥1解得i≤7
也就是说，b7=b8=C(11,7) *2^7=C(11,8) *2^8=165*2^8=42240为最大的展开式系数。
所以，展开式系数最大的项为42240x^7和42240x^8