证明:必要性 由于A，B都是n阶正定矩阵，根据正定矩阵的定义，A，B都是n阶对称矩阵，即A'=A,B'=B(这里A'表示A的转置矩阵)。若AB正定，则 AB也是对称矩阵，从而AB=(AB)'=B'A'=BA.即证得了AB=BA。 充分性 若AB=BA，则(AB)'=B'A'=BA=AB,这说明AB实对称。 其次，由于A，B都是n阶正定矩阵，从而A，B都与单位矩阵合同，于是存在两个可逆实矩阵P,Q，使得A=P'P,B=Q'Q, 进而AB=P'PQ'Q。 注意到P'PQ'Q=Q^(-1)(QP'PQ')Q,这说明P'PQ'Q与)QP'PQ'相似， 另外，QP'PQ'=(PQ')'(PQ'),根据P,Q都是可逆实矩阵，PQ'也是可逆实矩阵，因此QP'PQ'正定，所以QP'PQ'的特征值都是正实数。 由于相似的矩阵具有相同的特征值，故AB=P'PQ'Q的特征值都是正实数。这就证明了AB正定。
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