柯西中值定理的证明：
因为函数 f(x) 在闭区间[a,b] 上连续，所以存在最大值与最小值，分别用 M 和 m 表示，分两种情况讨论：
若 M=m，则函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上必为常函数，结论显然成立。
若 M>m，则因为 f(a)=f(b) 使得最大值 M 与最小值 m 至少有一个在 (a,b) 内某点ξ处取得，从而ξ是f(x)的极值点，又条件 f(x) 在开区间 (a,b) 内可导得，f(x) 在 ξ 处取得极值，由费马引理推知：f'(ξ)=0。
另证：若 M>m ，不妨设f(ξ)=M，ξ∈(a,b)，由可导条件知，f'(ξ+)<=0，f'(ξ-)>=0，又由极限存在定理知左右极限均为 0，得证。
扩展资料：
范例解析
用罗尔中值定理证明：方程
3
在 (0,1) 内有实根。
证明： 设
则 F(x) 在 [0,1] 上连续，在 (0,1) 内可导，
，所以由罗尔中值定理，至少存在一点
，使得
，所以
，所以ξ是方程
在 (0,1) 内的一个实根。
结论得证。
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