“鸡兔同笼”问题中的数学思想方法及其渗透策略
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“鸡兔同笼”问题中的数学思想方法及其渗透策略
作者：秦和平 来源：《湖北教育》 点击：4214次 评论：0条
“鸡兔同笼”问题是我国古代数学名著《孙子算经》中记载的一道数学趣题，是《人教版义务教育课程标准实验教科书·数学》六年级上册第七单元“数学广角”中的教学内容。教材虽然只编排了一道例题，但此例在解决“鸡兔同笼”问题时，先后呈现了多种不同的解决问题的策略。这些策略的背后究竟隐含着哪些重要的数学思想方法，又该如何向学生有效渗透这些重要的数学思想方法？对此，遵循新课程的目标，按照新课标的要求，结合新教材的特点，都颇具探究价值。
一、解决“鸡兔同笼”问题策略中蕴涵的数学思想方法
数学思想是对数学知识和方法的本质及规律的理性认识，数学方法则是数学思想的具体表现形式，数学思想和数学方法合在一起，称为数学思想方法。解决问题的策略是以一定的数学思想方法为指导，在特定问题情境中，为实现教学目标而制定并在实施过程中不断调适、优化，以使问题得以有效解决的最佳系统决策与设计。在解决“鸡兔同笼”问题的过程中所使用的不同的解决问题的策略背后，一定隐含了相应的数学思想方法。笔者从中挖掘出的以下数学思想方法，对于教师提高对数学思想方法的认识能力和渗透意识都十分必要。
1．转化的思想方法
教材首先将《孙子算经》中的原题：“笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚。鸡和兔各有几只？”通过小精灵的提示：“我们可以先从简单的问题入手。”转化成了例题：“笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有8个头，从下面数，有26只脚。鸡和兔各有几只？”同样是基本的“鸡兔同笼”问题，其中数量由大到小的变化，既为分析和解决问题提供了方便，也巧妙渗透了转化的数学思想方法。
转化是指将有待解决的问题，归结为一类已经解决或较易解决的问题中去，以求得问题的解决。教学中常常用到的化“难”为“易”， 化“繁”为“简”， 化“生”为“熟”， 化“数”为“形”， 化“曲”为“直”， 化“圆”为“方”等都是数学学习中不可缺少的转化的思想方法。
2．猜想的思想方法
让学生先根据例题中的“从上面数，有8个头。”大胆猜测“鸡和兔各有几只？”再根据“从下面数，有26只脚。”来小心求证。在猜想不正确的情况下，学生逐步感受到“如果总脚数猜多了，就要多猜鸡少猜兔的只数；如果总脚数猜少了，要多猜兔少猜鸡的只数。”也正是在这样的过程中，学生参与探究的热情更高了，开展探究的勇气更大了，解决问题的思路更明了。
美籍匈牙利数学家、教育家、数学解题方法论的开拓者波利亚说，“数学事实首先是被猜想，然后是被证实。”数学猜想是人们在已有知识经验的基础上对问题进行直觉试探，从而形成某种假设的一种思维活动和思想方法。让学生先“估”后“数”、先“估”后“算”、先“估”后“量”、先“猜想”后“列式求解”等，都决定了猜想的思想方法在数学教学中的重要地位与作用。
3．列举的思想方法
如果把各种猜想的结果有序填写到教材上的表格之中（见下表），即为全部猜想的有序列举。从表中不难看出“鸡3只、兔5只”就是满足问题要求的答案。观察表中数据的变化规律，还可发现：“当鸡的只数每减少1只，兔的只数每增加1只，脚的只数就会增加2只。”这一规律将为下面的数学思想方法的渗透作好了孕伏。这也正是列举和列表的数学思想方法在解决这一问题中的灵活运用。
鸡876543210兔012345678脚161820222426283032
在许多情况下，有些实际问题往往还无法建立合适的数学模型，而通过列举的数学思想方法却能非常方便地找到答案，进而也为进一步建立数学模型打开了一扇明亮的窗。
4．画图的思想方法
使用转化的数学思想方法，将大数目的“鸡兔同笼”问题转变成小数目的“鸡兔同笼”问题后，使得用画出直观图的思想方法来解决这一问题成为可能。第一步：画出8个头和26只脚；第二步：给8个头都配上两只脚；第三步：将多出的10只脚添加在其中的5个头上。
经历上述画图过程后，用假设的思想方法解决“鸡兔同笼”问题的思路逐步清晰可见。画图的思想方法已成为小学生学习数学的一种需要。学生在自己画图的活动中，能感悟策略、发展思维、体会方法和获得思想。
5．假设的思想方法
教材指出，还可以这样想：如果笼子里都是鸡，那么就有8×2＝16只脚，这样就多出26－16＝10只脚。一只兔比一只鸡多2只脚，也就是有10÷2＝5只兔。所以笼子里有3只鸡，5只兔。学生顺势指出，还可以这样想：如果笼子里都是兔，那么就有8×4＝32只脚，这样就少出32－26＝6只脚。一只鸡比一只兔少2只脚，也就是有6÷2＝3只鸡。所以笼子里有3只鸡，5只兔。
假设的数学思想方法的运用，不仅为快捷解决问题提供了便利，更为培养学生的创新能力开辟了途径。但是，要正确而恰当地运用假设法，就必须深刻把握其“设而不假”的关键要领，即假设的内涵与问题本身并不矛盾，否则，就会造成“失之毫厘，谬以千里”的后果。
6．建模的思想方法
从运用假设的数学思想方法解决“鸡兔同笼”问题的过程中，学生不难归纳出：鸡的只数＝（头的总个数×4－脚的总只数）÷（4－2），兔的只数＝（脚的总只数－头的总个数×2）÷（4－2）。运用这个数学模型，无疑可以便捷的解决类似基本的“鸡兔同笼”问题。
数学建模是解决实际问题的一种思考方法，它从量和形的侧面去考查实际问题。尽可能通过抽象（或简化）确定出主要的参量、参数，应用有关的定律、原理建立起它们之间的某种关系，这样一个明确的数学问题就是某种简化了的数学模型。作为数学教师，有责任让学生学习和初步掌握数学建模的思想方法, 从而更积极主动地学习数学，这样做将使学生终生受益。
7．代数的思想方法
教材指出，还可以用列方程的方法来解答，即：设有x只兔，那么就有（8－x）只鸡。鸡兔共有26只脚，就是：4x＋2(8－x) ＝26，x＝5，8－5＝3，即兔有5只、鸡有3只。
代数的思想方法也就是列方程解决问题的思想方法。方程是刻画现实世界的有效模型，通过把生活语言“翻译”成代数语言，根据问题中的已知数和未知数之间的等量关系，在已知数与未知数之间建立一个等式，这就是方程思想的由来。这种解决问题的思想方法直接、简单，可化难为易，特别是在解决比较复杂的数学问题时用代数的思想方法就更容易。
8．抬脚的解题方法
教材最后在“阅读材料”中写道：你知道古人是怎样解决“鸡兔同笼”问题（指《孙子算经》中的原题）的吗？假设让鸡抬起一只脚，兔抬起两只脚，还有94÷2＝47只脚；这时每只鸡一只脚，每只兔两只脚，笼子里只要有一只兔，则脚的总数就比头的总数多1；这时脚的总数与头的总数之差47－35＝12，就是兔的只数。
以上十分形象的“抬脚法”，是一种特殊而巧妙的解决问题的策略，所以教材将其编排在课后的阅读材料中，既留给了学生一个自主探究、广泛交流的学习空间，又让学生进一步感受到了我国古代数学的魅力。
二、教学“鸡兔同笼”问题过程中渗透数学思想方法的有效策略
细细品味上述数学思想方法，我们不禁感叹到“鸡兔同笼”问题中数学思想方法的多样、深刻与灵巧。但也正是如此，使得鸡兔同笼”问题的教学的挑战性陡增。如何通过一节课或这个单元的教学，才能有效提升学生对之前的教学中已经渗透过的数学思想方法的认识，才能合理渗透在之前的教学中尚未渗透过的新的数学思想方法，已成为教学中不可回避的另一个重要问题。
1．强化渗透意识
数学思想方法的意义和价值决定了其在数学教学中的重要地位和作用。因此，课程标准指出：“教师要发挥主导作用，……，使学生理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，得到必要的数学思维训练，获得基本的数学活动经验。”而数学思想方法又常常隐藏于教材之中，这就要求教师在校本研修的过程中，加强对数学思想方法的理论学习，把对基本的数学数学方法的认识作为专业发展的必修课；要在吃透教材的基础上，深刻挖掘隐含于教材字里行间的数学思想方法，认识到数学思想方法对于学生可持续发展的不可替代的作用；要在日常教学中，明确数学思想方法是数学素养的重要组成部分，不断增强自觉渗透数学思想方法的意识。
2．遵循渗透原则
渗透，即把数学思想方法与数学知识技能、数学活动经验看成一个有机联系的整体，在新、旧知识的学习和新、旧经验的运用中加以适当渗透，而不是刻意添加数学思想方法的内容，更不是片面强调数学思想方法的概念，要让学生在潜移默化中去感受、领悟、积累和提升认识，运用并逐步将数学思想方法内化为良好的思维品质。因而，教学中务必遵循由感性到理性、由具体到抽象、由特殊到一般的渗透原则，使学生的认识过程返朴归真，让学生在自觉状态下，始终以探索者的姿态参与到知识的形成和规律的揭示过程中去，从中不仅仅获得知识技能，发展活动经验，更重要的是与此同时领悟、运用、内化数学思想方法。
3．把握渗透关联
当转化、猜想、列举、画图、假设、建模、代数、抬脚等多种数学思想方法同时作用于“鸡兔同笼”问题中时，它们之间必然存在相互关联之处。转化为猜想、列举、画图等提供了便捷，猜想是列举的开始，列举则是假设的前奏，画图是对列举的结果的形象呈现和为假设提供的直观支撑，假设是对前面诸法的有效提升，建模则是假设的必然结果，代数是假设的联想产物，抬脚无非是假设的另一种特殊形式。教学时，教师要善于把它们联系起来看，结合起来用，以提高教学实效。可见，不同的数学思想方法并不是彼此孤立、互不联系的，较低层次的数学思想方法经过抽象和概括，便上升为较高层次的数学思想方法，而较高层次的数学思想方法则对较低层次的数学思想方法有着指导意义，其往往是通过较低层次的思想方法来实现自身的运用价值。
4．突出渗透重点
如果按思想方法的作用给其分类，转化是解决“鸡兔同笼”问题中的基础性的思想方法，不可少之；猜测、列举、画图、抬脚是解决“鸡兔同笼”问题中的颇有局限性的思想方法，虽为假设做好了铺垫或延伸，但会受到数目大小或奇偶性的限制，不能广泛用之；真正能够适应于此类问题的具有普遍意义的一般性方法，无疑还是假设和代数的思想方法。如果按思想方法的新旧给上述思想方法分类，转化、猜想、列举、画图、建模和代数的思想方法，都是在前面教学中教师多次渗透、学生领悟较深的思想方法，惟有假设和抬脚才是本节课中新出现的思想方法，而抬脚不过是特殊的假设，且具有很强的局限性。由此看来，学生真正最需要获得的，又能适应解决问题普遍性要求的一种新的数学思想方法就是假设。
5．找准渗透途径
数学思想方法是数学和“数学广角”中最本质、最精彩、最具有教育价值的部分。教师要让学生在解决问题的过程中，适时为学生找到适当的渗透途径，使学生体验数学思想方法的灵活运用，感受数学思想方法的无穷魅力，逐步提高数学思想方法的认识水平和运用技能。概念的形成过程、结论的推导过程、问题的解决过程、练习的训练过程、复习的展开过程、课外的阅读过程等，都是向学生渗透数学思想方法的极好途径。试想，在“鸡兔同笼”问题的教学中，如果把猜想的思想方法放在与列表的思想方法的结合中渗透，把画图的思想方法放在对个别学困生的辅导中渗透，把代数的思想方法放在对假设的思想方法的补充中渗透，把抬脚的解题方法放在课外的阅读中渗透，课堂是否会更具艺术、更有实效呢？
日本数学家米山国藏在《数学的精神、思想和方法》一书中写道：不管他们（指学生）从事什么业务工作，即使把所教给的知识(概念、定理、法则和公式等)全忘了，唯有铭刻在他们心中的数学精神、思想和方法都随时随地地发生作用，使他们受益终生。随着社会的发展，要想实现“终身学习”和“人的可持续发展”，重要的是在教育中发展学生的能力，使之掌握获得知识和进一步学习的方法，逐渐掌握蕴涵在知识内的数学思想方法。只有这样，才能使学生真正感受到数学的价值和力量。小学是学生学习数学的启蒙时期，这一阶段注意向学生渗透基本的数学思想显得尤为重要。
假设法解鸡兔同笼的四个步骤：
【引例】今有鸡兔同笼，头共40个，腿共112条，求鸡兔各几只？
第①步~假设
假设40个全是鸡，那么腿应该为：40×2=80条。
第②步~比较
实际腿共112条，差了：112-80=32条，也就是少了32条腿。
第③步~调整
为什么少了32条腿，因为还有兔子呢，把四条腿的兔子当成两条腿的鸡了，那就调整过来，一只鸡变成兔子补上了：4-2=2条腿，那么需要多少只鸡变成兔子才能对上腿数呢？
→ 32÷2=16只，说明兔子的数量就是16只。
综合列式为（112-40×2）÷（4-2）=16只。那么鸡的数量就是24只。
根据一只鸡2只脚而一只兔4条腿，主要使用二元一次方程组来解决比较方便。
若已知鸡兔头总数为a，脚的总数为b。设鸡的数量为x，兔的数量为y，则
x+y=a,2x+4y=b。
联立即可。
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