已知平面上的动点P（x，y）及两定点A（-2，0），B（2，0），直线PA，PB的斜率分别是 k 1 ，k 2 且 k 1

2024-11-05 11:50:14

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回答1：

（1）由题意得

x+2

x-2

，（x≠±2），即x² +4y² =4（x≠±2）．
∴动点P的轨迹C的方程是

x 2

+ y 2 =1(x≠±2) ．
（2）设点M（x₁ ，y₁ ），N（x₂ ，y₂ ），联立

y=kx+m

x 2 +4 y 2 =4

，化为（1+4k² ）x² +8kmx+4m² -4=0，
∴△=64k² m² -16（m² -1）（1+4k² ）=16（1+4k² -m² ）＞0．
∴ x 1 + x 2 =-

8km

1+4 k 2

， x 1 x 2 =

4 m 2 -4

1+4 k 2

．
∴y₁ y₂ =（kx₁ +m）（kx₂ +m）= k 2 x 1 x 2 +km( x 1 + x 2 )+ m 2 ，
①若OM⊥ON，则x₁ x₂ +y₁ y₂ =0，∴ (1+ k 2 ) x 1 x 2 +km( x 1 + x 2 )+ m 2 =0 ，
∴

(1+ k 2 )(4 m 2 -4)

1+4 k 2

8 k 2 m 2

1+4 k 2

+ m 2 =0 ，化为 m 2 =

(1+ k 2 ) ，此时点O到直线l的距离d=

|m|

1+ k 2

．
②∵k_BM ?k_BN =-

，∴

y 1

x 1 -2

y 1

x 1 +2

，
∴x₁ x₂ -2（x₁ +x₂ ）+4+4y₁ y₂ =0，
∴ x 1 x 2 -2( x 1 + x 2 )+4+4 k 2 x 1 x 2 + 4km( x 1 + x 2 )+4 m 2 =0 ，
代入化为 4 m 2 -4-

8km(4km-2)

1+4 k 2

+4 m 2 +4=0 ，化简得m（m+2k）=0，解得m=0或m=-2k．
当m=0时，直线l恒过原点；
当m=-2k时，直线l恒过点（2，0），此时直线l与曲线C最多有一个公共点，不符合题意，
综上可知：直线l恒过定点（0，0）．