阿Q吧 > 为什么“加减乘”是从低位往高位进行运算的，而除是从高位往低位进行运算？（这个问题困扰我好多年了）

为什么“加减乘”是从低位往高位进行运算的，而除是从高位往低位进行运算？（这个问题困扰我好多年了）

2025-04-01 11:07:50

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回答1：

笔算低位算起来自欧洲，不只是进位要改写数字，当年欧洲人推崇笔算,我们可以理解：那是因为在欧洲，不只是由于阿拉伯数码和笔算的引入大发简化了运算（与用罗马数字进行计算相比），从而推动了数学的快速发展。而是欧洲有些国家3位数读数是先读百再读个再读十，2位读数先个再十，这是我从来自德国、比利时的学生家长中了解到的，无论是来自美国、日本、韩国大多是国家的学生和中国一样都是高到低读数。清末全盘搬进西洋学制、课程知识结构，全盘西化，学校数学课中全部采用笔算，不符合中国和世界上大多数国家的国情。数字一元思维，珠码是二元思维，用脑部位不一样，思维效果不一样，效果是硬道理。
沈松年评论原文地址：从高位起算和低位起算谈起作者：心算从高位起算和低位起算谈起刘芹英
经常听到一些数学老师说：孩子学过珠心算后再上学，在计算时会产生困惑？因为珠算是从高位算起，而学校数学课上所学的笔算是从低位算起，学生先学过高位算起，又学习低位算起，学生就容易产生困惑。因此，很多小学数学老师就以此为由来反对学习珠心算。下面就从数学历史发展的角度来谈高位算起与低位算起。
一、笔算的形成
印度创造了易写的数码，即我们现在所称的阿拉伯数码。（该数码实际上是印度人创造的。只因在历史上，该数码是从阿拉伯国家传入欧洲的，欧洲人就称为阿拉伯数码，传遍世界）。印度运用此数码于计算，就有了一定的笔算形式；经过各国各地人们的不断改进，成为今天人人熟知的笔算。
这种数码在8世纪时开始传入伊斯兰国家。那时阿拉伯的文化中心有两个：一个是东阿拉伯的巴格达，一是西阿拉伯的科尔多瓦（Cordoba,西班牙南部）。当时没有印刷术，书籍全凭抄写，字体因人因地而异。也可能是因为通过不同的途径传播，东、西部数码的写法有很大区别。经过若干年的演变，差异越来越大。东阿拉伯的字体渐渐固定下来，形成一种独特的数码，至今很多伊斯兰国家仍在使用。西阿拉伯的数码较接近现今的世界通用数码，在13世纪初由斐波那契介绍到欧洲。他在《算盘书》(Liber abaci)的开头就提出了带0号的印度—阿拉伯数码：“这里是九个印度数码 987654321，用这九个数码，加上阿拉伯人称之为零(zephirum)的符号0，任何数都可以写出来。”[1]按照阿拉伯人的习惯，文字和数字是从左向右读的。斐波那契的《算盘书》使印度—阿拉伯数码得以推广和流行，对于改变欧洲数学的面貌起了极为重要的作用。
由阿拉伯数码形成的“笔算”，实际上只是一种记录形式。因为“笔”本身是不会计算的，我们通常所说的笔算实际上就是笔录题目，数字适当对位，逐位口算（心算）出结果，再用阿拉伯数码记录下来。简言之：笔算就是口算加笔录。因为阿拉伯数码的最大优点是：大多可以一笔（除4和5外）写出。所以用它笔录显得简便。
二、笔算低位算起的来历
由于珠算是从高位算起，笔算是从低位算起，很多人就把笔算作为衡量一种算法好坏的标准，认为与笔算不一致的算法就不好。其实，在笔算形成的初期，其加减乘除都是从高位算起的；就是现在，笔算的除法仍然是从高位算起。从笔算的演变和发展过程中，就可以看出：笔算的加减算和乘算也是从高位算起的，只是遇到进位时，需要改写前面的数字，因此，笔算中的加减算和乘算才逐步改为低位算起。从下面的算式就可以看出：
例如：65 391 + 3 279 + 10 420 = 79 090
在当时的印度，其计算过程是： 65 391
3 279
10 420
78/ 98/0
9 09
这是印度12世纪沙盘上的加法[2]，就仍保留这从高位算起的程式。这也证实了笔算的加减算形成的初期也是从高位算起的，在计算过程中，为了避免不停地改写阿拉伯数码的麻烦，才逐渐改为低位算起。至于乘算就不再举例子了。
三、笔算与用罗马数字计算的对比
凭借罗马数字，是把数码符号集拢起来，如何集拢，很麻烦；例如，上面算式中的三个C、C、C又不能直接合成三百。而凭借阿拉伯数码，按位转化为两个码相加，简单容易。
下面我们从算法的四个要素来分析对比：用阿拉伯数字的笔算和用罗马数字进行运算的简捷程度：
首先，我们从输入来看：笔算只是把阿拉伯数字按位写出排列对位即可；而罗马数字相对就繁难一些，无法按位写，每一位的数字又要按照“左减右加”的法则累起来，比笔算要复杂得多。其次，看储存：二者差别不是太多，都是写在纸上，只是罗马数字要写的多一些。再次，看运算：笔算是按照事先记住的加减162句口诀，在脑中算出答数；罗马数字的运算就繁得多，象上面的数码符号里，明明看到的是两个“X”和一个“L”，又不能直接集拢在一起。最后，来看看输出：笔算的输出663，比罗马数字的输出DCLXIII，无论从读或写来看，都简单得多。再来看乘除：
由于阿拉伯数码和笔算的引入，使四则计算的繁难程度大大简化了。其原因主要有两个：一是阿拉伯数码在表示多位数时采用了中国发明的“十进位值制”，再一个是阿拉伯数码容易书写。从而推动欧洲数学在文艺复兴时期有较快的发展和进步。促成阿拉伯数码和笔算变成世界通用的记数方式和运算模型。

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