第17届"希望杯"初一第2试和初二第1试的答案解析

第十七届“希望杯”全国数学邀请赛初二 第1试 答案及解析点评:
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第十七届“希望杯”全国数学邀请赛初一 第2试
一、选择题(每小题4分，共40分．)以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母填在每题后面的圆括号内．
1．a和b是满足ab≠0的有理数，现有四个命题：
① 的相反数是 ；
②a-b的相反数是a的相反数与b的相反数的差；
③ab的相反数是a的相反数和b的相反数的乘积；
④ab的倒数是a的倒数和b的倒数的乘积．
其中真命题有( )
(A)1个． (B)2个． (C)3个． (D)4个．
[答案] C
[分析] ③中ab的相反数是-ab，而a的相反数是-a， b的相反数是-a，它们乘积的相反数是ab。
[考点] 本题考察的是相反数定义与倒数定义的灵活运用。

2．在下面的图形中，不是正方体的平面展开图的是( )

[答案]C
[分析] 将题目中的展开图形还原，只有答案B不能还原成正方体。
[考点] 本题考察的正方体展开图形的特点。
3．在代数式 中，x与y的值各减少25％，则该代数式的值减少了( )
(A)50％． (B)75％ (C) (D) ．
[答案] C
[分析]设减少后所求的代数式为m，则有m= = 。
[考点] 本题考察的是整式乘法的运算及灵活运用。

4．若a(A)a+b+c+d一定是正数． (B)d+c-a-b可能是负数．
(C)d-c-b-a一定是正数． (D)c-d-b-a一定是正数．
[答案]C
[分析]本题应用特值排除法，对于A，如果设a=-2，b=-1，c=1，d=2，则a+b+c+d=0非正数；对于B，d+c>0，-a >-b>0，所以d+c-a-b一定大于零；对于D，设a=-2，b=-1，c=1，d=5，则c-d-b-a=-1。
[考点]有理数的运算。
5．在图1中，DA=DB=DC，则x的值是( )
(A)10． (B)20． (C)30． (D)40．

[答案] A
[分析]根据三角形内角和为 ，求得x=
[考点] 考察三角形角的计算。
6．已知a，b，c都是整数，m=|a+b|+|b-c|+|a-c|，那么( )
(A)m一定是奇数． (B)m一定是偶数．
(C)仅当a，b，c同奇或同偶时，m是偶数． (D)m的奇偶性不能确定．
[答案] B
[分析] 利用特殊值法，设出具体数，代入代数式即可排出A、C、D选项。
[考点] 有理数的运算。

7．三角形三边的长a，b，c都是整数，且[a，b，c]=60，(a，b)=4，(b，c)=3．(注：[a，b，c]表示a，b，c的最小公倍数，(a，b)表示a，b的最大公约数)，则a+b+c的最小值是( )
(A)30． (B)31． (C)32． (D)33．
[答案] B
[分析]由最小公倍数入手，由题意可知三个数中肯定有15和4，再根据最大公约数分别是4和3，以及其他已知条件，进一步推知
[考点] 最大公约与最小公倍及三角形边的问题。

8．如图2，矩形ABCD由3×4个小正方形组成．此图中，不是正方形的矩形有( )
(A)40个． (B)38个． (C)36个． (D)34个．

[答案] A
[分析] 本题可以从两方面考虑，一是从正面考虑，分别数出一格、两格、三格为边的矩形数的个数，再求和即可；二是从反面考虑，先求出正方形和矩形数总数，再求出正方形数，总数-正方形数=矩形数。
[考点] 考查对图形的认识 。
9．设a是有理数，用[a]表示不超过a的最大整数，如[1.7]=1，[-1]=-1，[0]=0，[-1.2]
=-2，则在以下四个结论中，正确的是( )

[答案] D。
[分析]利用特殊值法，设a=0，则 ；设a=-1.2，则有
[考点] 有理数的灵活运用。

10．On the number axis，there are two points A and B corresponding to numbers 7 and b respectively，and the distance between A and B is less than 10．Let m=5-2b。then the range of the value of m is( )

(英汉词典：number axis数轴；point点；corresponding to对应于…；respectively分别地；distance距离；1ess than小于；value值、数值；range范围)
[答案] C
[分析]先根据题意列出不等式组 ，由此解出b的范围为 ，再根据m=5-2b，得出m与b的关系： ，即 ，解不等式得出m的取值范围。
[考点] 一元一次不等式、不定式组解法 的灵活运用 。

二、填空题(每小题4分，共40分．)

[答案]
[分析] 将原是化成 = = =
[考点] 本题考察分式的简便算法。

[答案] -3
[分析]由已知可得 ，原式= = ，再进一步变形。
[考点] 本题考查了整式的运算。
13．图3是一个小区的街道图，A、B、C、…、X、Y、Z是道路交叉的17个路口，站在任一路口都可以沿直线看到过这个路口的所有街道．现要使岗哨们能看到小区的所有街道，那么，最少要设______个岗哨．

[答案] 4
[分析] 找到符合题干条件的点，而且是符合要求的最少的。
[考点] 本题考察对图形的识别与理解。

[答案] -36
[分析]由题意可知， ，原式= = =-36
[考点] 本题考察了立方差公式的灵活运用。

=_________.
[答案]4026042
[分析]分别对原式的分子和分母进行运算，分子为2007 ，分母为 ，即原式为2006 。
[考点]考察了分式运算中的简便运算思想。
16．乒乓球比赛结束后，将若干个乒乓球发给优胜者．取其中的一半加半个发给第一名；取余下的一半加半个发给第二名；又取余下的一半加半个发给第三名；再取余下的一半加半个发给第四名；最后取余下的一半加半个发给第五名，乒乓球正好全部发完．这些乒乓球共有 ______个．
[答案] 31
[分析]解决本题的关键是分别表示出给每名优胜者的乒乓球数量，并找到一般规律。
[详解]解：设乒乓球共有x个，由题意得给第一名的球数量为： ；第二名： ；第三名：
以此类推，第五名： .，所以有： ，解得 31。

17．有甲、乙、丙、丁四人，每三个人的平均年龄加上余下一人的年龄之和分别为29，23，21和17岁，则这四人中最大年龄与最小年龄的差是_____岁．
[答案] 18
[分析]设出四个人的年龄，根据题意，分别表示出三个人的平均年龄与另外一个人年龄的和。
[详解]设四个人的年龄分别是 ，根据题意有 ，再将四个算式两两作差得： ， ， ， 。
所以最大年龄与最小年龄的差是18。
18．初一(2)班的同学站成一排，他们先自左向右从“1”开始报数，然后又自右向左从“1”开始报数，结果发现两次报数时，报“20”的两名同学之间(包括这两名同学)恰有15人，则全班同学共有______人．
[答案] 53或25
[分析]本题是发散性题目，应该分两种情况考虑。
[详解]解：设全班一共有x个人，根据题意可知由两种情况：一、从右向左报数时，报20的同学没有到达第一遍报数为20的同学所在的位置，则有： ；二、从右向左报数时，报20的同学超过第一遍报数为20的同学所在的位置，则有 。
的末位数字是___________．
[答案] 0
[分析] 将原式变形，充分运用特值法。
[详解] 原式= ，令 ，原式= ，因为2的乘方末位分别是2、4、8、6四个数的循环，所以 的末位数是8，所以原式的末位是0。

20．Assume that a，b，c，d are all integers，and four equations(a-2b)x=1，(b-3c)y=1，
(c-4d)z=1，w+100=d have always solutions x，y，z，w of positive numbers respectively,then the minimum of a is_____________．
(英汉词典：to assume假设；integer整数；equation方程；solution(方程的)解；positive正的；respectively分别地；minimum最小值)
[答案]2433
[考点]本题考察了不定方程的讨论思想。
三、解答题(本大题共3小题，共40分．) 要求：写出推算过程．
21．(本小题满分10分)
(1)证明：奇数的平方被8除余1．
(2)请你进一步证明：2006不能表示为10个奇数的平方之和．
（1）[分析] 设出奇数的一般式.
证明：设任意的奇数为 ，则根据题意可得 = = ，
连续两个整数相乘肯定是偶数，因此4k(k+1)能被8整除，
所以得证。
(2)假设2006可以表示为10个奇数的平方之和，也就是

(其中 , , ,…, 都是奇数)．
等式左边被8除余2，而2006被8除余6．矛盾!
因此，2006不能表示为10个奇数的平方之和.
22．(本小题满分15分)
如图4所示，三角形ABC的面积为1，E是AC的中点，O是BE的中点．连结AO，并延长交BC于D，连结CO并延长交AB于F．求四边形BDOF的面积．

设
因为 E是AC的中点，0是BE的中点，
所以
则

由 得
即

又
由 得
即 所以
23．(本小题满分15分)
老师带着两名学生到离学校33千米远的博物馆参观．老师乘一辆摩托车，速度为25千米／小时．这辆摩托车后座可带乘一名学生，带人后速度为20千米／小时．学生步行的速度为5千米／小时．请你设计一种方案，使师生三人同时出发后都到达博物馆的时间不超过3个小时．
[分析] 解本题的关键是，分析出老师带一名学生走到一定的位置后返回去接另一名学生。并理清各时间段所走的路程。
[详解]解：设老师带一名学生走了x米后，放下这名学生返回接另一名学生，则根据提意有全程分了三个时间段， 老师带第一个学生走的时间， 老师返回接第二个学生的时间， 老师带第二个学生到达博物馆的时间， ， ， ，
解得 =24，所以老师带着一个学生走出24米的时候，再回去带另一个学生，可以保证三人同时出发后都到达博物馆的时间不超过3小时。