证明：A,B为n阶矩阵，I-AB可逆，则I-BA可逆

2024-11-15 22:25:52

推荐回答（3个）

回答1：

因为i+ab可逆，所以(i+ab)(i+ab)^(-1)=i，推出（b^(-1)b+ab)(b^(-1)b+ab)^(-1)=i，
（b^(-1)+a)bb^(-1)(b^(-1)+a)^(-1)=i
也就是（b^(-1)+a)(b^(-1)+a)^(-1)=i
所以b^(-1)+a可逆，又因为i+ba稜处迟肺侏镀虫僧矗吉=b(b^(-1)+a)
b可逆，b^(-1)+a可逆，所以i+ba
可逆，证毕
希望对你有帮助

回答2：

假设I-BA不可逆，则存在x0不等于0，且(I-BA)x0=0
所以A(I-BA)x0=(I-AB)Ax0=0
因为I-AB可逆，所以得Ax0=0
那么(I-BA)x0=x0-BAx0=x0不等于0，与上矛盾
所以命题成立

回答3：

A，B可逆吗？
如果B可逆，我能证明BCB^(-1)是I-BA的逆阵
反例：
A=
(1
0)
(1
0)
B=
(0.5
0.5)
(
0
0
)
则可证明I-AB可逆，而I-BA不可逆