求二面角的方法(越详细越好)

平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫做二面角（这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面)。二面角的大小可以用它的平面角度来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度。平面角是直角的二面角叫做直二面角。

        以二面角的公共直线上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于公共直线的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。二面角的大小可用平面角表示。

平面角是直角的二面角叫做直二面角。

        两个平面垂直的定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。

        0≤θ≤π（不小于0°，不大于180°）

（注：既然二面角是空间立体图形，那么我们可以将180°～360°的另一边看成0°～180°）

        作二面角的平面角的常用方法有六种：

1、定义法 ：在棱上取一点A，然后在两个平面内分别作过棱上A点的垂线。有时也可以在两个平面   内分别作棱的垂线，再过其中的一个垂足作另一条垂线的平行线。

2、垂面法 ：作与棱垂直的平面，则垂面与二面角两个面的交线所成的角就是二面角的平面角

3、面积射影定理：二面角的余弦值等于某一个半平面在另一个半平面的射影的面积和该平面自己本身的面积的比值。即公式cosθ=S'/S（S'为射影面积，S为斜面面积）。运用这一方法的关键是从图中找出斜面多边形和它在有关平面上的射影，而且它们的面积容易求得。

4、三垂线定理及其逆定理法：先找到一个平面的垂线，再过垂足作棱的垂线，连结两个垂足即得二面角的平面角。

5、向量法：分别作出两个半平面的法向量，由向量夹角公式求得。二面角就是该夹角或其补角。

6、转化法：在二面角α-l-β其中一个半平面α上找一点P，求出P到β的距离h和P到l的距离d，那么arcsin(h/d)（二面角为锐角）或π-arcsin(h/d)（二面角为钝角）就是二面角的大小。

7,、三面角余弦定理法：详细见相关词条。

8、三正弦定理法：详细见相关词条。

9、异面直线的距离法：设二面角为C-AB-D，其中AC和BD互为异面直线且AC⊥AB，BD⊥AB（即AB是异面直线AC和BD的公垂线）。设AB=d，CD=l，AC=m，BD=n，根据

来求异面直线所成角θ。利用该方法求θ必须先由图像判断二面角是锐角还是钝角。如果是锐角，那么取正号；钝角，那么取负号。待求出θ以后，如果二面角是锐角，那么二面角的大小就是θ；钝角，那么二面角的大小就是π-θ。

其中，（1）、（2）点主要是根据定义来找二面角的平面角，再利用三角形的正、余弦定理解三角形。

二面角一般都是在两个平面的相交线上，取恰当的点，经常是端点和中点。过这个点分别在两平面做相交线的垂线，然后把两条垂线放到一个三角形中考虑。有时也经常做两条垂线的平行线，使他们在一个更理想的三角形中。

几何法

（1）作出二面角的平面角

A：利用等腰(含等边)三角形底边的中点作平面角；

B：利用面的垂线（三垂线定理或其逆定理）作平面角；

C：利用与棱垂直的直线，通过作棱的垂面作平面角；

D：利用无棱二面角的两条平行线作平面角。

（2）证明该角为平面角

（3）归纳到三角形求角

求两面角，最关键的是找到两面角的平面角
这个两面角的平面角最关键的一点就是该角的两条边都必须垂直于两个面的交线

找两面角的平面常用的方法有一般有两种
平面α与平面β，交线l，空间中一点P
1）P在平面α内，但不在交线l上
过P做平面β的垂线，垂足为H，过H作l的垂线，垂足为A，连接AP，角PAH即为二面角的平面角

2）P在交线l上
过P在平面α、β内分别作垂直于l的射线PA、PB，角APB即为二面角的平面角

3）P在两平面外
过P做平面β的垂线，垂足为H，过H作l的垂线，垂足为A，过A在平面α内作l的垂线AB，则角BAH即为二面角的平面角

总而言之关键就是该角的两条边都必须垂直于两个面的交线，还有要注意二面角可以是钝角，看具体情况。
如果确切的告诉你A-l-B这种样子的，就算夹角
但是只问你平面与平面的时候就可能有两解

在使用法向量求二面角时，一般是题中所求的两个面的角不好找或者很难求解出该角的值。

而法向量其实也是向量的一种，它无需准确地找到其起始点和终点就可以根据向量的乘积的形式计算出两个向量的夹角。

一个面的法向量就是这个面垂直的方向向量，一个面的法向量并不唯一，但是它的方向都是唯一的，不同的是模的大小。

所以运用法向量来求解两个面的夹角就省去了很多不必要的条件，容易算出结果，带来了方便。

所以面对难以找到二面角的两个面或者是难以求出二面角的值时就可以使用法向量求解二面角。

题型


图一

图一中的第二问就是求二面角的题，而对于这个题中要求解的二面角就很难找到该二面角的位置，即使找到了也很难求解出来，这时我们就可以使用法向量的方法求解出来。

题型思路

要想找到一个面的法向量，就要先求出这个面内两条直线的向量且这两条直线是相交的；

要求出一个面内两条相交直线的向量，就要建立直角坐标系。对于立体几个来说就要建立空间直角坐标系；

要想建立空间直角坐标系，就要找到三条直线相互垂直的交点；

通过第一问的证明，AE、EF、EB就是三条相互垂直的直线，E就应该是空间直角坐标系的原点坐标。

具体的做法

（Ⅰ）第一问只需要证明AE垂直面EBCF，AE在面AEFD内即可。

因为AB⊥BC，AD∥BC，E，F又是AB，DC的中点，所以AB⊥AD，AB⊥EF；

又因为AE⊥CF；

又因为CF和EF是相交直线；

所以有AE⊥面EBCF；

AE在面AEFD内，所以有面AEFD⊥面EBCF。

（Ⅱ）第二问运用法向量来求解二面角F-CD-A的大小。

①建立直角坐标系。

做DG∥AE交EF于G点，连接BG。


图二

注意：这里E点是空间直角坐标系的原点，相当于原点O。

②求出相关的坐标值。

因为BD⊥EC；

又因为AE⊥面EBCF，AE∥DG，所以DG⊥面EBCF，所以DG⊥EC；

所以EC⊥面BDG，所以EC⊥BG；

因为∠EBG+∠GBC=90°=∠ECB∠+∠GBC，所以∠EBG=∠ECB；

因为∠BEG=90°，∠CBE=90°，所以∠BEG=∠CBE；

所以△BEG∽△CBE；


图三

所以EG/EB=BE/BC，解得EB=2√2；

根据题中的已知不难得到各个点的坐标，即：

B(2√2,0,0)，A(0,0,2√2)，D(0,

这个你首先要构建坐标系 运用空间向量 找到两个可以替代平面的向量 最后用公式进行计算就可以了