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线性代数，求一个齐次方程组基础解系，2X1+X2+2X3=0 他的自由变量选取是任意的吗？

2024-11-15 23:46:00

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回答1：

2x1+x2+2x3=0,
其自由变量可任春神取，例如取 x2，x3 为自由未知量，得
2x1=-x2-2x3
取 x2=-2, x3=0, 得基础解系 (1，-2, 0)^T;
取 x2=0, x3=-1, 得基础解系 (1，0, -1)^T.
则方程的通解是
x= k1 (1，-2, 0)^T+k2 (1，0, -1)^T,
其中 k1, k2 为任意常数。

有的就不能随意取，例如方程扒局亏组
2x1+3x2+2x3=0,
x3=0
第2个方程已确定 x3=0， x3就不再是自由未知量，
只能取 x1 或 x2 为自由未知量。
例如取 x2 为自由未知量，则
2x1=-3x2,
x3=0，
取 x2=-2, 得基础解系 (3，-2, 0)^T，
则方程组的通腊笑解是
x= k (3，-2, 0)^T,
其中 k 为任意常数。

回答2：

对于这个方程组，自由变量选取是任意的。

回答3：

对任何的自由变量都是任意取的，但是要求取得向量是线性无关的