阿Q吧 > 已知x,y,z属于R+,x+y+z=3,(1)求1⼀x+1⼀y+1⼀z的最小值，（2）证明：3<=x^2+y^2+z^2<9,求解题过程

已知x,y,z属于R+,x+y+z=3,(1)求1⼀x+1⼀y+1⼀z的最小值，（2）证明：3<=x^2+y^2+z^2<9,求解题过程

2024-11-20 17:11:22

推荐回答（1个）

回答1：

(1)
1/x+1/y+1/z
＝1²/x+1²/y+1²/z²
≥(1+1+1)²/(x+y+z)
＝3²/3
＝3,
故所求最小值为：3.

(2)
x²+y²+z²
＝x²/1+y²/1+z²/1
≥(x+y+z)²/(1+1+1)
＝3²/3
＝3,
左边得证.
又，x、y、z∈R+,即xy+yz+zx>0.
∴x²+y²+z²-9
＝x²+y²+z²-(x+y+z)²
＝-2(xy+yz+zx)
<0,
∴x²+y²+z²<9.
故右边得证.
∴3≤x²+y²+z²<9。