齐桓公，齐桓侯和蔡桓公是什么关系

齐桓公有两个，一是春秋时候的霸主姬小白，一是战国时候的田午，这个田午也被称为蔡桓公，因为他立国时的国都在上蔡。又因齐国最开始被封国时，是侯爵，所以齐国国君也可称为齐侯。
在某种意义上说，齐桓公，齐桓侯和蔡桓公都可同指战国时的齐国国君田午。
其他：
蔡桓公不是蔡桓侯
蔡国君主是侯爵，齐国君主也是侯爵，但齐侯薨后一般被称为公，同理，像晋文公是侯爵，郑庄公、秦穆公是伯爵，但都有个公的称号。蔡桓公是战国时期齐国的齐桓公，名叫田午。之所以称为蔡桓公，是因为“当时蔡国已亡，而齐国都上蔡，故说蔡桓公。”这是古籍上对人物称谓的习惯用法。不过，此称呼有争议的一点，便是齐国都城一直在临淄，并不是所谓的上蔡。既然是在临淄，自然无法因为“齐国都上蔡”而“故说蔡桓公”的说法。（各位可以看上蔡与临淄）
蔡桓公是战国齐桓公
蔡桓公是田齐桓公，即战国齐桓公，名为田午。蔡桓公不是春秋五霸齐桓公，春秋五霸之一的齐桓公，名为吕小白。春秋战国时期，齐国分为两个阶段，即吕氏齐国、田氏齐国。田氏代齐以后，国名、君主爵位田氏依然沿用。
蔡桓侯是蔡国君主
蔡桓侯是春秋时蔡国（现今河南省上蔡县一带）第七代国君。蔡桓侯为蔡宣侯的儿子，承袭蔡宣侯担任该国君主，在位期间为前714年—前695年，共20年。
综上所述，蔡桓公不是蔡国君主，而是田氏齐国君主，史称田齐桓公，绝非蔡国君主，也不是春秋五霸之一的齐桓公公子小白（姜小白）。