阿Q吧 > 设f(x)在[0,+∞)上连续,在(0,+∞)内可导,且f✀(x)单调增加,f(0)=0,证明f(x)⼀x在(0,+∞）内单调增加

设f(x)在[0,+∞)上连续,在(0,+∞)内可导,且f✀(x)单调增加,f(0)=0,证明f(x)⼀x在(0,+∞）内单调增加

2024-11-02 14:33:34

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回答1：

证明：
f(x)在x>=0连续，在x>0可导，f'(x)单调增加
所以：f''(x)>0
设g(x)=f(x)/x
求导：g'(x)=f'(x)/x-f(x)/x^2=[xf'(x)-f(x)]/x^2
设h(x)=xf'(x)-f(x)
求导：
h'(x)=f'(x)+xf''(x)-f'(x)=xf''(x)>0
所以：h(x)是单调递增函数
h(x)>h(0)=0-f(0)=0
所以：
g'(x)=h(x)/x^2>0
所以：
g(x)是单调递增函数
所以：f(x)/x在x>0时是单调递增函数