二次型为0，为什么二次型矩阵是反对称阵

2025-02-25 09:01:51

推荐回答（4个）

回答1：

具体见图：

可由实对称矩阵的性质推出。

设A为n维方阵，若有A'=-A，则称矩阵A为反对称矩阵。对于反对称矩阵，它的主对角线上的元素全为零，而位于主对角线两侧对称的元反号。反对称矩阵具有很多良好的性质，如若A为反对称矩阵，则A'，λA均为反对称矩阵。

若A,B均为反对称矩阵，则A±B也为反对称矩阵；设A为反对称矩阵，B为对称矩阵，则AB-BA为对称矩阵；奇数阶反对称矩阵的行列式必为0。反对称矩阵的特征值是0或纯虚数，并且对应于纯虚数的特征向量的实部和虚部形成的实向量等长且互相正交。

扩展资料：

设，若其中元素满足，则称A是对称矩阵；若其元素满足，则称A为反对称矩阵。

若A是反对称矩阵，则，当时，便有，即反对称矩阵主对角线上的元全为零，而位于主对角线两侧对称的元反号。

设A为反对称矩阵，B为对称矩阵，则AB-BA为对称矩阵。

证明过程：

已知A为反对称矩阵，B为对称矩阵，即有

故有：

至此，根据反对称矩阵的定义可得，AB-BA为对称矩阵。

注意事项：

（1）设A,B为反对称矩阵，AB不一定是反对称矩阵。

（2）设A为反对称矩阵，若A的阶数为奇数，则A的行列式为0；A的阶数为偶数，则根据具体情况计算。

参考资料：百度百科——反对称矩阵

回答2：

对等式(二次型=0)可以变化得两个等式一个是两边同时乘负1,一个是两边同时取转置。由这两等式可得A=-A吧。
本来是来搜答案，没看到真的答案自己倒想到了个

回答3：

可由实对称矩阵的性质推出。

回答4：

二次型的矩阵一定为实对称矩阵。
1、二次型的矩阵一定可以用实对称矩阵来表示，因为x'Ax=x'[(A+A')/2]x，(A+A')/2肯定是对称的。实对称矩阵具有良好的性质，所以都用对称矩阵来研究二次型。
2、当二次型的系数在实数域上时，对应的二次型矩阵是实对称矩阵，实对称矩阵都可以通过可逆线性变换化为标准型，主要的方法有法和初等变换法。
3、如果A是一个未必对称的方阵，令B=(A+A^T)/2，那么B对称并且二次型x^TAx=x^TBx，也就是说即使A不对称，一定存在一个等效的对称矩阵来表示这个二次型，所以为了研究方便就选择或者理解成规定用对称阵来表示二次型。
4、二次型是线性代数的重要内容之一，它起源于几何学中二次曲线方程和二次曲面方程化为标准形问题的研究。二次型理论与域的特征有关。
5、如果有n阶矩阵A，其各个元素都为实数，矩阵A的转置等于其本身(A^T = A) ，则称A为实对称矩阵。如果有n阶矩阵A，其各个元素都为实数，且aij=aji i,j=1,2,,n（即A^T = A这里T表示转置），则称A为实对称矩阵。
6、实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量是正交的；A的特征值都是实数，特征向量都是实向量；n阶实对称矩阵A必可对角化且相似对角阵上的元素即为矩阵本身特征值；若λ0具有k重特征值　必有k个线性无关的特征向量或者说必有秩r(λ0E-A)=n-k，其中E为单位矩阵。

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