（1）因为极限
lim x→a+
存在，故f(2x?a) x?a
f(2x?a)＝f(a)＝0 lim x→a+
又f'（x）＞0，于是f（x）在（a，b）内单调增加，故f（x）＞f（a）=0，x∈（a，b）；
（2）设F（x）=x2，g(x)＝
f(t)dt，a≤x≤b，则g'（x）=f（x）＞0，故F（x），g（x）满足柯西中值定理的条件，于是在（a，b）内存在点ξ，使
∫
＝F(b)?F(a) g(b)?g(a)
=
b2?a2
f(t)dt?
∫
f(t)dt
∫
=
b2?a2
f(t)dt
∫
＝F′(x) g′(x)
|x＝ξ=2x f(x)
，2ξ f(ξ)
即
＝
b2?a2
f(x)dx
∫
；2ξ f(ξ)
（3）因f（ξ）=f（ξ）-0=f（ξ）-f（a），在[a，ξ]上应用拉格朗日中值定理，知在（a，ξ）内存在一点η，使f（ξ）=f'（η）（ξ-a），
从而由（2）的结论得
＝
b2?a2
f(x)dx
∫
=2ξ f(ξ)
，2ξ f′(η)(ξ?a)
即在（a，b） 内存在与（2）中ξ相异的点η，使f′（η）（b2-a2）=
f(x)dx．
∫2ξ ξ?a
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