如何判断一个函数是否是周期函数？

2025-03-31 00:30:38

推荐回答（3个）

回答1：

这是我在百度借鉴的，希望能帮到你。1 周期函数加上周去函数还是周期函数
2 周期函数加上非周期函数不是周期函数
3 非周期函数加上非周期函数是无法确定是否还为周期函数的
4 周期函数乘上周期函数还是周期函数
5 周期函数乘上非周期函数不是周期函数
6 非周期函数乘上非周期函数是无法确定是否还未周期函数的

综上，y=sinx*cosx是周期函数
事实上，y=sinx*cosx=1/2sin2x，不难看出，周期为Pi。

不好意思，周期函数乘以周期函数还是周期函数当且仅当原来两个周期函数的周期之比为一有理数。。。（汗）
证明如下：
y1=f1(x);周期T1
y2=f2(x);周期T2;
其中a*T1=b*T2（a,b,都是整数（有理数都可以表示成a/b的形式，其中，a，b是整数！））
y3=f1（x)*f2（x)
令T=a*T1（自然T也等于b*T2）
于是f1(x+T）*f2(x+T）=f1(x)*f2(x)
(具体原因自己想一想吧，其实是很显然的。注意，不能说T就是y3的最小周期！！举个例子，若f1(x)周期为2pi，f2(x）周期为3pi，那么，f1(x)*f2(x)其中一个周期自然为6pi（但不一定是最小周期！！）如上题所说y=sinx,y=cosx,乘积最小周期是pi!!)

回答2：

看是否有f（x+T）=f（x）恒成立...T即是周期

回答3：

定理1　　　　若f(X)是在集M上以T*为最小正周期的周期函数则K f(X)+C（K≠0）和1/ f(X)分别是集M和集｛X/ f(X) ≠0，X ｝上的以T*为最小正周期的周期函数。 [1] 　　证：　　∵T*是f(X)的周期，∴对有X±T* 且f(X+T*)= f(X)，∴K f(X)+C=K f(X+T*)+C，　　∴K f(X)+C也是M上以T*为周期的周期函数。　　假设T* 不是Kf(X)+C的最小正周期，则必存在T’（ 0＜T’＜T*）是K f(X)+C的周期，则对，　　有K f(X+T’)+C=K f(X) +C K[f(X+T’)- f(X)]=0，∵K≠0，∴f(X+T’)- f(X)=0，∴f(X+T’)= f(X)，　　∴T’是f(X)的周期，与T*是f(X)的最小正周期矛盾，∴T*也是K f(X)+C的最小正周期。　　同理可证1/ f(X)是集｛X/ f(X) ≠0，X ｝上的以T*为最小正周期的周期函数。定理2　　若f(X)是集M上以T*为最小正周期的周期函数，则f(aX+n)是集｛X/aX+ n ｝上的以T*/ 为最小正周期的周期函数，（其中a、b为常数）。　　证：　　先证是f(ax+b)的周期　　∵T*是f(X)的周期，∴ ，有X±T*∈M，∴a（X ）+b=ax+b ±T*∈M，且f[a（X+ T ）+b]=f（ax+b±T*）=f（ax+b）∴ 是f（ax+b）的周期。　　再证是f（ax+b）的最小正周期　　假设存在T’（0＜T’＜）是f（ax+b）的周期，　　则f（a（x+T’）+b）=f（ax+b），即f（ax+b+aT’）=f（ax+b），　　因当X取遍｛X/X∈M,ax+b∈M｝的各数时,ax+b就取遍M所有的各数，　　∴aT’是f(X)的周期，但＜=T*这与T*是f(X)的最小正周期矛盾。定理3　　设f(u)是定义在集M上的函数u=g（x）是集M1上的周期函数，且当X∈M1时，g(x)∈M，则复合函数f(g(x))是M1上的周期函数。　　证：　　设T是u=g(x)的周期，则 1有（x±T）∈M1且g（x+T）=g(x) ∴f(g(x+T))=f(g(x)) 　　∴=f(g(x))是M1上的周期函数。　　例1 　　设=f(u)=u2是非周期函数，u= g(X)=cosx是实数集R上的周期函数，则f(g(x))=cos2x是R上的周期函数。　　同理可得：（1）f(X)=Sin(cosx)，（2）f(X)=Sin(tgx)，（3）f(X)=Sin2x，（4）f(n)=Log2Sinx(sinx＞0)也都是周期函数。　　例2 　　f(n)=Sinn是周期函数，n=g(x)=ax+b(a≠0)是非周期函数，f(g(x))=Sin(ax+b)是周期函数（中学数学中已证）。　　例3 　　f(n)=cosn是周期函数，n=g(x)= （非周期函数）而f(g(x))=cos 是非周期函数。　　证：假设cos 是周期函数，则存在T＞0使cos （k∈Z）与定义中T是与X无关的常数矛盾，　　∴cos 不是周期函数。　　由例2、例3说明，若f(u)是周期函数，u= g(X)是非周期函数，这时f(g(x))可能是，也可能不是周期函数。定理4　　设f1(X)、f2(X)都是集合M上的周期函数，T1、T2分别是它们的周期，若T1/T2∈Q则它们的和差与积也是M上的周期函数，T1与T2的公倍数为它们的周期。　　证：　　设（(p·q)=1）设T=T1q=T2p则有：有（x±T）=（x±T1q）=（x±T2p）∈M，且f1(x+T) ±f2（x+T）= f1(x+T1q) ±f2（x+T2p）= f1(X)±f2(X) ∴f1(X) ±f2(X)是以T1和T2的公倍数T为周期的周期函数。同理可证：f1(X) 、f2(X)是以T为周期的周期函数。定理4推论　　　　设f1(X) 、f2(X)……fn(X) 是集M上的有限个周期函数T1、T2……Tn分别是它们的周期，若， … （或T1，T2……Tn中任意两个之比）都是有理数，则此n个函数之和、差、积也是M上的周期函数。　　例4 　　f(X)=Sinx-2cos2x+sin4x是以2π、π、π/2的最小公倍数2π为周期的周期函数。　　例5 　　讨论f(X)= 的周期性　　解：2tg3 是以T1= 为最小正周期的周期函数。　　5tg 是以T2 为最小正周期的周期函数。　　tg2 是以T3= 为最小正周期的周期函数。　　又都是有理数　　∴f(X)是以T1、T2、T3最小公倍数（T1、T2、T3）= 为最小正周期的周期函数。　　同理可证：　　（1）f(X)=cos ; 　　(2)f(x)=sin2xcos2x+cos2xcos3x+cos3xsin3x。是周期函数。定理5　　设f1(x)=sin a1x，f2(x)=cosa2x，则f1(x)与f2(x)之和、差、积是周期函数的充要条件是a1/a2∈Q。　　证　　先证充分性：　　若a1/a2∈Q，设T1、T2分别为f1(x)与f2(x)的最小正周期，则T1= 、T2= ，又 ∈Q 　　由定理4可得f1(x)与f2(x)之和、差、积是周期函数。　　再证必要性（仅就f1(x)与f2(x)的差和积加以证明）。　　（1）设sina1x-cosa2x为周期函数，则必存在常数T＞0，　　使sina1(x+T)-sina1x=cosa2(x+T)-cosa2x 2cos(a1x+ )sin = -2sin s(a2x+ ) sin (1)。　　令x= 得2cos（a1x+ ），则（K∈Z）。(2) 　　或 C∈Z（3）　　又在（1）中令 2sin（a2x+ ）sin =-2sin =0 　　由(4) 　　由sin （5）　　由上述（2）与（3），（4）与（5）都分别至少有一个成立。　　由（3）、（5得）（6）　　∴无论（2）、（4）、（6）中那一式成立都有a1/a2 。　　（2）设sinaxcosa2x为周期函数，则是周期函数。

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