设f(x)在[0.1]连续,证明∫(0→1)[f(x)^2]dx≥[∫(0→1)f(x)dx]^2

解：设∫(0,1)f(x)dx=m，那么(f(x)-m)^2≥0，

因此∫(0,1)(f(x)-m)^2dx≥0，

又(f(x)-m)^2=(f(x))^2-2m*f(x)+m^2，那么

∫(0,1)(f(x)-m)^2dx=∫(0,1)f(x))^2dx-∫(0,1)(2m*f(x))dx+∫(0,1)m^2dx

=∫(0,1)f(x))^2dx-2m∫(0,1)f(x)dx+m^2

=∫(0,1)f(x))^2dx-2*∫(0,1)f(x)dx*∫(0,1)f(x)dx+∫(0,1)f(x)dx*∫(0,1)f(x)dx

=∫(0,1)f(x))^2dx-∫(0,1)f(x)dx*∫(0,1)f(x)dx=∫(0,1)f(x))^2dx-(∫(0,1)f(x)dx)^2

又∫(0,1)(f(x)-m)^2dx≥0，所以，∫(0,1)f(x))^2dx-(∫(0,1)f(x)dx)^2≥0，

即∫(0,1)f(x))^2dx≥(∫(0,1)f(x)dx)^2

扩展资料：

1、定积分∫(a,b)f(x)dx的性质

（1）当a=b时，∫(a,b)f(x)dx=0。

（2）如果在区间[a,b]上，f(x)≥0，则∫(a,b)f(x)dx≥0。

（3）代数和的积分等于积分的代数和。即∫(a,b)(f(x)±g(x))dx=∫(a,b)f(x)dx±∫(a,b)g(x)dx。

2、不等式的性质

（1）如果x>y，那么yy。

（2）如果x>y，y>z，那么x>z。

（3）如果x>y，z>0，那么xz>yz，如果x>y，z<0，那么xz

参考资料来源：百度百科-定积分

参考资料来源：百度百科-不等式

利用书上的性质5就行，详情如图所示

要证明的积分上限应该是1.证明思路：先交换积分顺序,然后交换变量的符号,
相加除以2即可.
原式=∫【0,1】dy∫【0,y】f(x)f(y)dx 这是交换积分顺序
=∫【0,1】dx∫【0,x】f(x)f(y)dy 这是对上一个积分中的x,y变量互换符号而已
=0.5∫【0,1】dx∫【0,1】f(x)f(y)dy
上面个两个积分相加除以2,注意内层积分恰好是从0到x和从x到1
=0.5∫【0,1】f(x)dx∫【0,1】f(y)dy
=0.5A^2.