高等数学极限，无穷小，函数有界性难题？

2025-03-07 15:18:08

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回答1：

高等数学
一、函数、极限、连续
考试内容
函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶
性反函数、复合函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形
初等函数简单应用问题的函数关系的建立数列极限与函数
极限的定义以及它们的性质函数的左、右极限无穷小无穷
大无穷小的比较极限的四则运算极限存在的两个准则：单
调有界准则和夹逼准则两个重要极限：（略）
函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区
间上连续函数的性质（最大值、最小值定理和介值定理）
考试要求
1．理解函数的概念，掌握函数的表示方法。
2．了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。
3．理解复合函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。
4．掌握基本初等函数的性质及其图形。
5：会建立简单应用问题中的函数关系式。
6．理解极限的概念，理解函数左、右极限的概念，以及极限存
在与左、右极限之间的关系。
7．掌握极限的性质及四则运算法则。
8．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利
用两个重要极限求极限的方法。
9．理解无穷小、无穷大以及无穷小的阶的概念，会用等价无
穷小求极限。
10．理解函数连续性的概念，会判别函数间断点的类型。
11．了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质（最
大值、最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。
二、一元函数微分学
考试内容
导数和微分的概念导数的几何意义和物理意义函数的可
导性与连续性之间的关系平面曲线的切线和法线基本初等函
数的导数导数和微分的四则运算反函数、复合函数、隐函数以
及参数方程所确定的函数的微分法高阶导数的概念某些简单
函数的N阶导数一阶微分形式的不变性微分在近似计算中
的应用罗尔（ROlle）定理拉格朗日（LAGrange）中值定理柯西
(CAUCHY)中值定理泰勒（TYLOR)定理洛必达（L'HOSPITAL）法
则函数的极值及其求法函数增减性和函数图形的凹凸性的判
定函数图形的拐点及其求法渐近线描绘函数的图形函数
最大值和最小值的求法及简单应用弧微分曲率的概念及计算
曲率半径两曲线的交角方程近似解的二分法和切线法

回答2：

原题即 : lim[ln(1-x)]^(2/m) / x^(1/n)
= lim(-x)^(2/m) / x^(1/n) = limx^(2/m) / x^(1/n)
= limx^(2/m-1/n) = limx^[(2n-m)/(mn)]
当 m > 2n 时， 2n-m < 0, 上述极限变为无穷大，故无界。

回答3：

分析，基本概念题
解：
根据等价无穷小：
分子～x^(2/m)
原式=lim(x→0+) x^[(2/m)-(1/n)]
∴无界
∴极限不为0

回答4：

当求一个极限时，且为分式时，即分子分母都趋近于0时，则极限不一定为0。