高等数学函数有界无界问题(求大神详解)

|f(x)|<=|xexp(-x^2)|，讨论右边的函数g(x)=xexp(-x^2) ,x>=0的有界性即可。

g'(x) = (1-2x^2)exp(-x^2)，当x0 g(x)单增，当x>sqrt(2)/2 g'(x)<0 g(x)单减，因此g(x)在x=sqrt(2)/2取得最大值，也即是f(x)有界。

函数的有界性

设函数f(x)的定义域为D，f(x)在集合D上有定义。

如果存在数K1，使得 f(x)≤K1对任意x∈D都成立，则称函数f(x)在D上有上界。

反之，如果存在数字K2，使得 f(x)≥K2对任意x∈D都成立，则称函数f(x)在D上有下界，而K2称为函数f(x)在D上的一个下界。

判断一个函数f(x)在区间(a,b)内的有有界性(区间可以是(–∞，+∞))，这里假设f(x)在(a,b)内连续，由连续函数的性质，f(x)在(a,b)的任何闭的子区间上都有界，因此f(x)在(a,b)内是否有界就取决于f(x)在a，b两点的右极限和左极限是否存在(函数极限的局部有界性)，当且仅当上述两个极限都存在，函数在(a,b)内有界。本题中函数的连续性没有问题，因此有没有界就看x–>+∞和x–>–∞是否存在，这个题目中因为极限都是0，因此两个极限可以一起考虑，即讨论。x–>∞这个极限，先求极lim(x–>∞)xe^(–x^2)=limx/e^(x^2)=lim1/2xe^(x^2)=0(罗必塔法则)，xe^(–x^2)是无穷小量，sin(x^2)是有界函数，根据无穷小量的性质，f(x)还是无穷小量，极限存在为零 ，所以有界。

|f(x)|<=|xexp(-x^2)|
讨论右边的函数g(x)=xexp(-x^2) ,x>=0的有界性即可
g'(x) = (1-2x^2)exp(-x^2)
当x0 g(x)单增
当x>sqrt(2)/2 g'(x)<0 g(x)单减
因此g(x)在x=sqrt(2)/2取得最大值
也即是f(x)有界