计算在球面x2+y2+z2=4a2内而在x2+y2=a2外的部分立体的体积

2024-11-13 23:27:32
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回答1:

由对称性,只需计算xy平面上方部分的体积然后乘以2即可。
记D={(x,y):x^2+y^2lt;=Rx},
于是V=2倍的二重积分(D)根号(R^2--x^2--y^2)dxdy 极坐标变换x=rcosa,y=rsina
=2*积分(--pi/2到pi/2)da 积分(从0到Rcosa)根号(R^2--r^2)rdr
=4/3*积分(从0到pi/2)da (R^2--r^2)^(3/2)上限r=0下限r=Rcosa
=4R^3/3*积分(从0到pi/2)(1--sin^3a)da
=4R^3/3*(pi/2--2/3)