【教学目标】
1. 使学生了解归纳法, 理解数学归纳的原理与实质.
2. 掌握数学归纳法证题的两个步骤;会用"数学归纳法"证明简单的与自然数有关的命题.
3. 培养学生观察, 分析, 论证的能力, 进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力,让学生经历知识的构建过程, 体会类比的数学思想.
4. 努力创设课堂愉悦情境,使学生处于积极思考、大胆质疑氛围,提高学生学习的兴趣和课堂效率.
5. 通过对例题的探究,体会研究数学问题的一种方法(先猜想后证明), 激发学生的学习热情,使学生初步形成做数学的意识和科学精神.
【教学重点】归纳法意义的认识和数学归纳法产生过程的分析
【教学难点】数学归纳法中递推思想的理解
【教学方法】类比启发探究式教学方法
【教学手段】多媒体辅助课堂教学
【教学程序】
第一阶段:输入阶段--创造学习情境,提供学习内容
1. 创设问题情境,启动学生思维
(1) 不完全归纳法引例:
明朝刘元卿编的《应谐录》中有一个笑话:财主的儿子学写字.这则笑话中财胡哗主的儿子得出"四就是四横、五就是五横……"的结论,用的就是"归纳法",不过,这个归纳推出的结论显然是错误的.
(2) 完全归纳法对比引例:
有一位师傅想考考他的两个徒弟,看谁更聪明一些.他给每人一筐花生去剥皮,看看每一粒花生仁是不是都有粉衣包着,看谁先给出答案.大徒弟费了很大劲将花生全部剥完了;二徒弟只拣了几个饱满的,几个干瘪的,几个熟好的,几个没熟的,几个三仁的,几个一仁、两仁的,总共不过一把花生.显然,二徒弟先给出答案,他比大徒弟聪明.
在生活和生产实际中,归纳法也有广泛应用.例如气象工作者、水文工作者依据积累的历史资料作气象预测,水文预报,用的就是归纳法.这些归纳法却不能用完全归纳法.
2. 回顾数学旧知,追溯归纳意识
(从生活走向数学,与学生一起回顾以前学过的数学知识,进一步体会归纳意识,同时让学生返咐感受到我们以前的学习中其实早已接触过归纳.)
(1) 不完全归纳法实例: 给出等差数列前四项, 写出该数列的通项公式.
(2) 完全归纳法实例: 证明圆周角定理分圆心在圆周角内部、外部及一边上三种情况.
3. 借助数学史料, 促使学生思辨
(在生活引例与学过的数学知识的基础上,再引导学生看数学史料,能够让学生多方位多角度体会归纳法,感受使用归纳法的普遍性.同时引导学生进行思辨:在数学中运用不完全归纳法常常会得到错误的结论,不管是我们还是数学大家都漏做纯可能如此.那么,有没有更好的归纳法呢?)
问题1 已知 = (n∈N),
(1)分别求 ; ; ; .
(2)由此你能得到一个什么结论?这个结论正确吗?
(培养学生大胆猜想的意识和数学概括能力.概括能力是思维能力的核心.鲁宾斯坦指出:思维都是在概括中完成的.心理学认为"迁移就是概括",这里知识、技能、思维方法、数学原理的迁移,我找的突破口就是学生的概括过程.)
问题2 费马(Fermat)是17世纪法国着名的数学家,他曾认为,当n∈N时, 一定都是质数,这是他对n=0,1,2,3,4作了验证后得到的.后来,18世纪伟大的瑞士科学家欧拉(Euler)却证明了 =4 294 967 297=6 700 417×641,从而否定了费马的推测.没想到当n=5这一结论便不成立.
问题3 , 当n∈N时, 是否都为质数?
验证: f(0)=41,f(1)=43,f(2)=47,f(3)=53,f(4)=61,f(5)=71,f(6)=83,f(7)=97,f(8)=113,f(9)=131,f(10)=151,…,f(39)=1 601.但是f(40)=1 681= ,是合数.
第二阶段:新旧知识相互作用阶段--新旧知识作用,搭建新知结构
4. 搜索生活实例,激发学习兴趣
(在第一阶段的基础上,由生活实例出发,与学生一起解析归纳原理, 揭示递推过程.孔子说:"知之者不如好之者,好之者不如乐之者."兴趣这种个性心理倾向一般总是伴随着良好的情感体验.)
实例:播放多米诺骨牌录像
关键:(1) 第一张牌被推倒; (2) 假如某一张牌倒下, 则它的后一张牌必定倒下. 于是, 我们可以下结论: 多米诺骨牌会全部倒下.
搜索:再举几则生活事例:推倒自行车, 早操排队对齐等.
5. 类比数学问题, 激起思维浪花
类比多米诺骨牌过程, 证明等差数列通项公式 :
(1) 当n=1时等式成立; (2) 假设当n=k时等式成立, 即 , 则 = , 即n=k+1时等式也成立. 于是, 我们可以下结论: 等差数列的通项公式 对任何n∈ 都成立.
(布鲁纳的发现学习理论认为,"有指导的发现学习"强调知识发生发展过程.这里通过类比多米诺骨牌过程,让学生发现数学归纳法的雏形,是一种再创造的发现性学习.)
6. 引导学生概括, 形成科学方法
证明一个与正整数有关的命题关键步骤如下:
(1) 证明当n取第一个值 时结论正确;
(2) 假设当n=k (k∈ ,k≥ ) 时结论正确, 证明当n=k+1时结论也正确.
完成这两个步骤后, 就可以断定命题对从 开始的所有正整数n都正确.
这种证明方法叫做数学归纳法.
第三阶段:操作阶段--巩固认知结构,充实认知过程
7. 蕴含猜想证明, 培养研究意识
(本例要求学生先猜想后证明,既能巩固归纳法和数学归纳法,也能教给学生做数学的方法,培养学生独立研究数学问题的意识和能力.)
例题 在数列{ }中, =1, (n∈ ), 先计算 , , 的值,再推测通项 的公式, 最后证明你的结论.
8. 基础反馈练习, 巩固方法应用
(课本例题与等差数列通项公式的证明差不多,套用数学归纳法的证明步骤不难解答,因此我把它作为练习,这样既考虑到学生的能力水平,也不冲淡本节课的重点.练习第3题恰好是等比数列通项公式的证明,与前者是一个对比与补充.通过这两个练习能看到学生对数学归纳法证题步骤的掌握情况.)
(1)(第63页例1)用数学归纳法证明:1+3+5+…+(2n-1)= .
(2)(第64页练习3)首项是 ,公比是q的等比数列的通项公式是 .
9. 师生共同小结, 完成概括提升
(1) 本节课的中心内容是归纳法和数学归纳法;
(2) 归纳法是一种由特殊到一般的推理方法,它可以分为完全归纳法和不完全归纳法两种,完全归纳法只局限于有限个元素,而不完全归纳法得出的结论不一定具有可靠性,数学归纳法属于完全归纳法;
(3) 数学归纳法作为一种证明方法,其基本思想是递推(递归)思想,使用要点可概括为:两个步骤一结论,递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉;
(4) 本节课所涉及到的数学思想方法有:递推思想、类比思想、分类思想、归纳思想、辩证唯物主义思想.
10. 布置课后作业, 巩固延伸铺垫
(1) 课本第64页练习第1, 2题; 第67页习题2.1第2题.
(2) 在数学归纳法证明的第二步中,证明n=k+1时命题成立, 必须要用到n=k时命题成立这个假设.这里留一个辨析题给学生课后讨论思考:
用数学归纳法证明: (n∈ )时, 其中第二步采用下面的证法:
设n=k时等式成立, 即 , 则当n=k+1时,
.
你认为上面的证明正确吗?为什么?
【教学设计说明】
1.数学归纳法是一种用于证明与自然数n有关的命题的正确性的证明方法.它的操作步骤简单、明确,教学重点不应该是方法的应用.我认为不能把教学过程当作方法的灌输,技能的操练.为此,我设想强化数学归纳法产生过程的教学,把数学归纳法的产生寓于对归纳法的分析、认识当中,把数学归纳法的产生与不完全归纳法的完善结合起来.这样不仅使学生可以看到数学归纳法产生的背景,从一开始就注意它的功能,为使用它打下良好的基础,而且可以强化归纳思想的教学,这不仅是对中学数学中以演绎思想为主的教学的重要补充,也是引导学生发展创新能力的良机.
2.在教学方法上,这里运用了在教师指导下的师生共同讨论、探索的方法.目的是加强学生对教学过程的参与.为了使这种参与有一定的智能度,教师应做好发动、组织、引导和点拨.学生的思维参与往往是从问题开始的,本节课按照思维次序编排了一系列问题,让学生投入到思维活动中来,把本节课的研究内容置于问题之中,在逐渐展开中,引导学生用已学的知识、方法予以解决,并获得知识体系的更新与拓展.
3.运用数学归纳法证明与正整数有关的数学命题,两个步骤缺一不可.理解数学归纳法中的递推思想,尤其要注意其中第二步,证明n=k+1命题成立时必须要用到n=k时命题成立这个条件.这些内容都将放在下一课时完成,这种理解不仅使我们能够正确认识数学归纳法的原理与本质,也为证明过程中第二步的设计指明了思维方向.
Sn=1/8（an+2）^2 1
Sn-1=1/8 ( an-1 +2)^2 2
1-2
得Sn-Sn-1=1/8*(an^2 - an-1 ^2 + 4an- 4an-1 )
化简得 an=1/8*(an+an-1)(an-an-1)+ 4an- 4an-1
8an=(an+an-1)(an-an-1)+ 4an- 4an-1
(an+an-1)(an-an-1)- 4an- 4an-1 =0
(an+an-1)(an-an-1)- 4(an + 4an-1) =0
(an+an-1)(an - an-1 -4)=0
得 an - an-1 - 4=0
an - an-1 = 4为常数
所以后项减前项为常姿野数 可证明{an} 为知册尺等差数列
设首项=a1 公比为q
S7=[a1(1-q^7)]/(1-q)
S14-S7=[a1(q^7-q^14)]/(1-q)
S21-S14=[a1(q^14-q^21)]/(1-q)
(S14-S7)^2=[a1^2(q^14-2q^21+q^28)]/(1-q)^2
S7*(S21-S14)=[a1^2*(q^14-2q^21+q^18)]/(1-q)^2
所以(S14-S7)^2=S7*(S21-S14)
所以 S7,S14-S7,S21-S14成等搭高比数列
我哪桐只知道等差数列
求和公式：（首项+末项）*项数/2
求证是否卜岁是等差数列，型缓睁只要看每两个数之间的差是否一样就行了
建议你去找本比基团较好的参考书 这比在网上问要来的快
看书要看出巧锋空版社 像龙门的就相当的不错 有相关的书籍多看看自然就会了 最重要的孝瞎是要学会举一反三
做数学归纳法的题目首先必须找出规律，然后再按照一遍的解题思路
1.当n=1时，左边=右边的
2.设n=k时成立，则把k待到规律里作为已知条件，通过第k项与第(k+1）项的关系，解出第(k+1)项，其实如果则滚题目告诉了你通项的话，直接套(k+1）项！！！
3.所以当n在范则盯肢围内满足规律。但n一定属于正整数。
注意：有的题目不是从第一项开始的！！！
例：用数学归纳法证明Sn=(n+1)n/2的通项是an=n,
证：1.当n=1时，左边=右边=1
2.设n=k时成立，a(n+1)=n+1 k 属于正整数
当n=k+1时，S(k+1)=Sk+ak推出an=n
3.所以an=n,n属于正整数。
证明等孙世差数列：定义an=a1=(n-1)d,只要证明an-a(n-1)=d(n大于等于2，属于正整数）
等比数列：定义an/a(n-1)=q,(an和q不为0），（n大于等于2，属于正整数）
本人水平有限，但一定尽力帮你！
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